Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
22. Простые волны в упругопластическом полупространствеИсследуем движение упруго/вязкопластической среды, заполняющей полупространство
возникающие в момент Уравнения динамического равновесия (5.5) в случае малых деформаций и отсутствия массовых сил имеют вид
Рис. 70. В рассматриваемой плоской задаче отсутствуют касательные напряжения
С учетом условий (22.3) уравнения динамического равновесия сводятся к виду (в дальнейшем примем
При малых деформациях имеем
В рассматриваемом случае условие текучести принимает вид
где Учитывая (22.3), (22.5) и (22.6), из определяющих уравнений (2.30) получаем следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка:
при этом введены обозначения
Входящая в уравнения (22.7) величина
где
В предельных случаях, если Система уравнений (22.4), (22.7) и (22.9) является полной системой уравнений для рассматриваемой задачи. Ее можно представить в матричной форме
где вектор и определен как
а матрицы
Матрицы Характеристические кривые уравнения (22.11) являются решениями уравнения
где
где Тривиальное решение уравнения (22.14) есть
Величины (область упругих деформаций или упругой разгрузки), из уравнения
Кроме того, в предельных случаях из уравнения (22.15) получим если
если Здесь
Соотношения вдоль характеристик на основании (9.14) получим в виде
где
Ввиду того что в рассматриваемом случае матрицы
Следовательно, левый и правый собственные векторы совпадают. При уравнения (22.21) 2 имеет вид
где
Частными решениями уравнения (22.11) являются так называемые простые волны. Это такие решения, для которых вектор и имеет постоянное значение вдоль характеристик. Если вектор и имеет постоянное значение вдоль волн, распространяющихся со скоростью Так как характеристические направления являются функциями только
Исключая из уравнений (22.24) и (22.11) и, получаем
С другой стороны, исключая из этих уравнений и, получаем
Так как
Из равенств (22.21) 2 и (22.27) видно, что
Уравнение (22.28) эквивалентно пяти обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка. Так как
используя соотношения (22.8) и (22.29), получим
Чтобы описать изменение составляющих тензора напряжений на плоскости
которое получается из (22.28) и (22.23). Интегрируя уравнения (22.30) и (22.31), для каждого На рис. 71 представлен характер линий напряжений соответственно на плоскостях
Рис. 71. Линии напряжений в областях упругих деформаций не ориентированы, иначе говоря, напряженное состояние в этих областях может изменяться в обоих направлениях. На рис. 72 представлено решение, соответствующее краевым условиям (22.1), т. е. для случая внезапно приложенных на границе полупространства нормальных и касательных нагрузок, постоянных во времени. Это решение отвечает линии напряжения, проходящей на рис. 71 по пути заданным на границе полупространства напряжениям Так как характеристические направления а являются функциями напряжений В случае упруго-идеально пластического тела приведенные выше уравнения значительно упрощаются.
Рис. 72. Характеристическое уравнение
где Изложенный в настоящем пункте метод нельзя непосредственно применять при произвольных краевых условиях. Он справедлив только в случае постоянных на границе полупространства напряжений. Его можно, однако, обобщить на случай давлений, произвольно возрастающих во времени от нуля до постоянного значения, как это было сделано в работе [136]. В случае произвольного изменения напряжений на границе полупространства решение задачи о распространении волн напряжений можно получить численным путем, используя с этой целью соотношения вдоль характеристик, которые следуют из уравнения (22.20). Задача об определении волны разгрузки в случае двухпараметрического нагружения упруго-пластической среды рассматривалась Клифтоном [22] применительно к распространению волн в полубесконечном цилиндре, нагруженном по краю нормальным давлением и скручивающим моментом. Клифтон и Липкин [23, 68] установили экспериментальным путем существование быстрых и медленных простых волн. В работе [23] проведено сравнение экспериментальных и теоретических результатов. Рассмотрим теперь задачу о двухпараметрическом нагружении границы упругопластического полупространства, исходя из уравнений динамики грунтов, предложенных С. С. Григоряном [35]. На границе полупространства Так же, как и в ранее рассмотренной плоской задаче, в данном случае отсутствуют касательные напряжения
Теперь уравнения (4.8) примут вид
Можно видеть, что уравнения (22.34) - (22.34) линейно зависимы. Учитывая, что
и что введено обозначение
где Условие текучести (4.7) запишется как
Уравнения движения и уравнение сохранения массы (5.21) приобретают вид
Входящий в (22.35) параметр X определяется формулой
Система уравнений Учитывая малость градиентов деформации, эту систему уравнений сведем к виду
Так как в области упругих деформаций
где В области пластических деформаций Приведем частное решение этой задачи, относящееся к распространению продольно-поперечных волн при краевых условиях [121]:
Предполагается, что напряжения
В случае краевых условий вида (22.41) задача значительно упрощается и становится автомодельной. Приравняв нулю характеристический определитель системы (22.39), получим характеристическое уравнение
где
Уравнение (22.43) получено без ограничений на величины При краевых условиях (22.41) все величины будут зависеть от одной безразмерной переменной
Так как а зависит только от производными (22.34) можно заменить системой обыкновенных дифференциальных уравнений. После некоторых преобразований получим
Интегрируя это выражение, находим
где Зная Система уравнений (22.39) определяет пластические деформации сдвига, когда
вытекающее из определения безразмерной переменной (22.44), из системы уравнений (22.39) получим следующее выражение для параметра Я:
Условие
Если, например, в процессе нагрузки выполнено условие
Рис. 73. До сих пор не существует полного решения задачи о распространении продольно-поперечных волн в среде, описываемой уравнениями динамики грунтов С. С. Григоряна для нагрузок, произвольно изменяющихся во времени. Построение волны пластической нагрузки в случае монотонно возрастающих от нуля нагрузок
Где также доказать, что скорость распространения волны пластической нагрузки заключена в пределах
Таким образом, в координатной плоскости В заключение сделаем несколько замечаний, касающихся задачи о распространении продольно-поперечных волн в среде, описываемой уравнениями билинейной теории пластичности. В работе [82] подробно исследовано решение в области активного нагружения для полупространства, нагруженного по границе напряжениями
а в случае
причем В [82] сделаны также некоторые замечания относительно волны нагрузки в случае классического допущения об упругой разгрузке. На основе анализа нагружения границы полупространства напряжениями
В работе [81], так же как и в [82], решена задача о распространении продольно-поперечных волн в полупространстве с той лишь разницей, что в процессе нагрузки движение среды описывалось уравнениями (2.13), а в процессе разгрузки была принята характеристика жесткой разгрузки (интенсивность деформации в процессе разгрузки не зависела от времени). С помощью такой модели можно приближенно рассчитать деформирование песчаных грунтов с малой влажностью в пределах средних давлений. При этом можно считать, что объемная деформация необратима и практически не меняется в процессе разгрузки. Введение понятия о жесткой разгрузке (так же как и в случае однопараметрического нагружения границы) позволило решить в замкнутом виде задачу о распространении продольно-поперечных волн.
|
1 |
Оглавление
|