22. Простые волны в упругопластическом полупространстве

Исследуем движение упруго/вязкопластической среды, заполняющей полупространство к поверхности которого приложены постоянные во времени нормальные и касательные напряжения (рис. 70)

возникающие в момент Эту задачу решим для малых деформаций, исходя из определяющих уравнений (2.30) [13, 30, 74, 135, 136, 5, 32, 223].

Уравнения динамического равновесия (5.5) в случае малых деформаций и отсутствия массовых сил имеют вид

Рис. 70.

В рассматриваемой плоской задаче отсутствуют касательные напряжения и составляющая перемещения в направлении оси . Остальные составляющие тензора напряжений и составляющие перемещения не зависят от координаты Так как нагрузка на границе полупространства (22.1) не зависит от остальные величины суть функции только . В результате получим

С учетом условий (22.3) уравнения динамического равновесия сводятся к виду (в дальнейшем примем

При малых деформациях имеем

В рассматриваемом случае условие текучести принимает вид

где предел текучести.

Учитывая (22.3), (22.5) и (22.6), из определяющих уравнений (2.30) получаем следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка:

при этом введены обозначения

Входящая в уравнения (22.7) величина может быть выражена через функцию в виде

где характеризует упрочнение материала. Эту функцию можно определить из характеристики материала для одноосного напряженного состояния. Если через обозначить угол наклона кривой как функцию напряжения а, то получим

В предельных случаях, если (область упругих деформаций), то если (в случае идеальной пластичности), то Если положить, что монотонно убывающая функция то будет монотонно возрастающей функцией

Система уравнений (22.4), (22.7) и (22.9) является полной системой уравнений для рассматриваемой задачи. Ее можно представить в матричной форме

где вектор и определен как

а матрицы имеют вид

Матрицы являются симметрическими.

Характеристические кривые уравнения (22.11) являются решениями уравнения (см. . Раскрыв определитель и приравняв его нулю, получим следующее уравнение:

где

где скорость продольной упругой волны, скорость поперечной упругой волны, параметр, Так как коэффициент Пуассона изменяется в пределах . параметр изменяется в пределах

Тривиальное решение уравнения (22.14) есть Анализируя уравнение (22.15), можно установить, что Уравнение (22.15) представляет собой уравнение четвертого порядка относительно а. Если обозначить его корни через то можно установить, что

Величины являются соответственно скоростями медленных и быстрых волн. В предельных случаях, когда

(область упругих деформаций или упругой разгрузки), из уравнения получим а когда (для упруго-идеально пластического тела), получим характеристическое уравнение для определения скоростей волн, аналогичное выведенному в работе [13]:

Кроме того, в предельных случаях из уравнения (22.15) получим если то если то

если

Здесь отвечает значению, для которого скорость распространения продольной плоской пластической волны имеет то же значение, что и скорость упругой волны сдвига это значение определяется из уравнения

Соотношения вдоль характеристик на основании (9.14) получим в виде

где производная вдоль характеристики: транспонированный левый собственный вектор 1, который определяется из уравнения (9.12):

Ввиду того что в рассматриваемом случае матрицы симметричны, эти уравнения можно представить в виде

Следовательно, левый и правый собственные векторы совпадают. При или левый собственный вектор

уравнения (22.21) 2 имеет вид

где

Частными решениями уравнения (22.11) являются так называемые простые волны. Это такие решения, для которых вектор и имеет постоянное значение вдоль характеристик. Если вектор и имеет постоянное значение вдоль волн, распространяющихся со скоростью то такие волны мы назовем быстрыми волнами. Если этот вектор имеет постоянное значение вдоль волн, распространяющихся со скоростью то эти волны мы назовем медленными волнами.

Так как характеристические направления являются функциями только то характеристики уравнения (22.11) суть прямые линии для решений в виде простых волн. Следовательно, вдоль линии с наклоном отсюда

Исключая из уравнений (22.24) и (22.11) и, получаем

С другой стороны, исключая из этих уравнений и, получаем

Так как есть полный дифференциал вдоль каждого направления (пит произвольны), из уравнений (22.25) и (22.26) получим

Из равенств (22.21) 2 и (22.27) видно, что пропорционален левому собственному вектору 1. Исходя из этого факта, пользуясь (22.22), получим

Уравнение (22.28) эквивалентно пяти обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка. Так как суть функции напряжений все эти уравнения связаны. В частном случае, так как

используя соотношения (22.8) и (22.29), получим

Чтобы описать изменение составляющих тензора напряжений на плоскости в случае простых волн, к равенству (22.30) следует присоединить равенство

которое получается из (22.28) и (22.23).

Интегрируя уравнения (22.30) и (22.31), для каждого получим двухпараметрическое семейство пространственных кривых в трехмерном пространстве напряжений Эти пространственные кривые можно построить, если будут известны их проекции на каждую из двух плоскостей и которые не параллельны. Учитывая вид уравнений (22.30) и (22.31), для этой цели можно использовать плоскости и Интегрируя соотношение (22.30), получим однопараметрическое семейство кривых на плоскости Для определения проекций кривых на плоскости достаточно только одного параметрического семейства кривых. Другое параметрическое семейство можно получить путем поворота первого параметрического семейства кривых в направлении Это можно установить, анализируя уравнения (22.30) и (22.31). Линии напряжений для быстрых и медленных простых волн ортогональны друг другу на плоскости Следует, однако, заметить, что они ортогональны на плоскости если они пересекаются в пространстве Если же линии напряжений для быстрых и медленных волн не пересекаются в пространстве то их проекции на плоскость не должны быть взаимно ортогональны. В работе [136] подробно исследованы линии напряжений в плоскостях

На рис. 71 представлен характер линий напряжений соответственно на плоскостях для частного вида функции где соответствует начальной поверхности текучести, и для параметра Сплошными линиями показаны линии напряжений для медленных простых волн, а пунктирными линиями — для быстрых простых волн. Кривые на рис. 71 представлены для области пластических деформаций. В областях упругих деформаций линии напряжений для быстрых простых волн, распространяющихся со скоростью будут прямыми, параллельными осям линии напряжений, соответствующие медленным простым волнам со скоростями параллельны оси

Рис. 71.

Линии напряжений в областях упругих деформаций не ориентированы, иначе говоря, напряженное состояние в этих областях может изменяться в обоих направлениях.

На рис. 72 представлено решение, соответствующее краевым условиям (22.1), т. е. для случая внезапно приложенных на границе полупространства нормальных и касательных нагрузок, постоянных во времени. Это решение отвечает линии напряжения, проходящей на рис. 71 по пути При этом предполагается, что начальное напряженное состояние равно нулю, т. е. Точка на рис. 71,а и отвечает

заданным на границе полупространства напряжениям

Так как характеристические направления а являются функциями напряжений и для, простых волн напряжения постоянны вдоль характеристик, то эти характеристики являются прямыми линиями. Каждая точка на линии напряжений отвечает характеристике на координатной плоскости Положение точки на линии напряжений определяет напряжение вдоль характеристики, а также характеристическое направление а. Напряжения можно определить из рис. 71, а, напряжение из рис. 71,б.

В случае упруго-идеально пластического тела приведенные выше уравнения значительно упрощаются.

Рис. 72.

Характеристическое уравнение принимает вид (22.17). Характеристические направления а не зависят от составляющей напряжения Условие текучести тогда имеет вид

где постоянная. Напряжение не является независимой переменной, оно выражается через составляющие тензора напряжений Задача о распространении простых волн в упруго-идеально пластическом пространстве, нагруженном по границе напряжениями согласно краевому условию (22.1), подробно исследовалась Блейхом и Нельсоном [13].

Изложенный в настоящем пункте метод нельзя непосредственно применять при произвольных краевых условиях. Он справедлив только в случае постоянных на границе полупространства напряжений. Его можно, однако, обобщить на случай давлений, произвольно возрастающих во времени от нуля до

постоянного значения, как это было сделано в работе [136]. В случае произвольного изменения напряжений на границе полупространства решение задачи о распространении волн напряжений можно получить численным путем, используя с этой целью соотношения вдоль характеристик, которые следуют из уравнения (22.20).

Задача об определении волны разгрузки в случае двухпараметрического нагружения упруго-пластической среды рассматривалась Клифтоном [22] применительно к распространению волн в полубесконечном цилиндре, нагруженном по краю нормальным давлением и скручивающим моментом. Клифтон и Липкин [23, 68] установили экспериментальным путем существование быстрых и медленных простых волн. В работе [23] проведено сравнение экспериментальных и теоретических результатов.

Рассмотрим теперь задачу о двухпараметрическом нагружении границы упругопластического полупространства, исходя из уравнений динамики грунтов, предложенных С. С. Григоряном [35]. На границе полупространства (рис. 70), заполненного средой, определяемой уравнениями С. С. Григоряна (см. п. 4.1), заданы краевые условия вида (22.1).

Так же, как и в ранее рассмотренной плоской задаче, в данном случае отсутствуют касательные напряжения и составляющая перемещения в направлении оси Остальные составляющие тензора напряжений и составляющие перемещения не зависят от координат Следовательно,

Теперь уравнения (4.8) примут вид

Можно видеть, что уравнения (22.34) - (22.34) линейно зависимы. Учитывая, что

и что введено обозначение вместо уравнений (22.34) получим

где

Условие текучести (4.7) запишется как

Уравнения движения и уравнение сохранения массы (5.21) приобретают вид

Входящий в (22.35) параметр X определяется формулой

Система уравнений вместе с уравнением (4.1) для случая или вместе с уравнением (4.2) для случая является замкнутой системой уравнений для рассматриваемой задачи (при конечных деформациях).

Учитывая малость градиентов деформации, эту систему уравнений сведем к виду

Так как в области упругих деформаций для нее уравнения (22.39) значительно упрощаются. Систему уравнений (22.39) можно заменить эквивалентной ей системой вдоль характеристик

где Следовательно, мы имеем дело с двумя невзаимодействующими волнами Римана — продольными и поперечными.

В области пластических деформаций поперечные волны связаны с продольными.

Приведем частное решение этой задачи, относящееся к распространению продольно-поперечных волн при краевых условиях [121]:

Предполагается, что напряжения постоянны и возникают на границе полупространства внезапно. Начальные условия примем в виде

В случае краевых условий вида (22.41) задача значительно упрощается и становится автомодельной.

Приравняв нулю характеристический определитель системы (22.39), получим характеристическое уравнение

где

Уравнение (22.43) получено без ограничений на величины . В [121] предполагалось, что эти величины постоянны и что Рассмотрены также случаи движения, в которых постоянно вдоль каждой характеристики. Так как а зависит только от то характеристики являются прямыми линиями.

При краевых условиях (22.41) все величины будут зависеть от одной безразмерной переменной

Так как а зависит только от то и все величины, входящие в уравнения (22.39), также будут зависеть только от Используя (22.44), систему дифференциальных уравнений с частными

производными (22.34) можно заменить системой обыкновенных дифференциальных уравнений. После некоторых преобразований получим

Интегрируя это выражение, находим

где соответствуют значениям перед первой волной; они определяются из начальных условий задачи.

Зная можно определить все искомые величины. Исключая в (22.46) корни уравнения (22.43), получим семейство решений системы уравнений задачи (22.39). Уравнение (22.43) имеет четыре корня: два положительных отвечающих прямым волнам — продольным и поперечным и два отрицательных отвечающих обратным волнам — продольным и поперечным

Система уравнений (22.39) определяет пластические деформации сдвига, когда Используя (22.43) и преобразование

вытекающее из определения безразмерной переменной (22.44), из системы уравнений (22.39) получим следующее выражение для параметра Я:

Условие приводит к неравенствам

Если, например, в процессе нагрузки выполнено условие а в процессе разгрузки то волновое решение на координатной плоскости будет иметь вид, показанный на рис. 73. Области суть области постоянных напряжений. В области II распространяется быстрая простая волна, а в области IV — медленная простая волна. В области в силу начального условия, имеем В области V при краевых условиях (22.9) имеем Для определения решения в областях

следует воспользоваться уравнением (22.46), условием и условием текучести Анализ решений проводится в плоскости где (уравнение (22.39)4 однозначно описывает связь между Для исследования изменения напряженного состояния во времени при фиксированном х используется уравнение (22.46), в котором в случае перехода через быстрые простые волны следует принять а при переходе через медленные простые волны принимается В зависимости от положения точки (начальные условия задачи) получаются различные решения.

Рис. 73.

До сих пор не существует полного решения задачи о распространении продольно-поперечных волн в среде, описываемой уравнениями динамики грунтов С. С. Григоряна для нагрузок, произвольно изменяющихся во времени. Построение волны пластической нагрузки в случае монотонно возрастающих от нуля нагрузок и ой на границе полупространства не представляет трудности. Эта волна строится аналогично случаю упруго/вязкопластической среды (см. п. 23), причем для ее определения используется условие (4.7). Локальная скорость распространения пластической волны нагрузки при выборе функции в виде (4.14) определяется формулой

Где известные величины, определенные на волне пластической нагрузки со стороны упругой области. Можно

также доказать, что скорость распространения волны пластической нагрузки заключена в пределах

Таким образом, в координатной плоскости волна пластической нагрузки лежит между характеристиками, соответствующими продольным и поперечным упругим волнам или же в пределе совпадает с одной из них. В области пластических деформаций решение можно построить так же, как это сделано в большинстве работ, посвященных задачам о распространении упругопластических волн, вызванных двухпараметрическими нагрузками [74, 133—137].

В заключение сделаем несколько замечаний, касающихся задачи о распространении продольно-поперечных волн в среде, описываемой уравнениями билинейной теории пластичности.

В работе [82] подробно исследовано решение в области активного нагружения для полупространства, нагруженного по границе напряжениями растущими во времени произвольным образом. Проведен подробный анализ возникновения фронтов волн нагрузки как волн слабого и сильного разрыва (для разных отношений скоростей скорости продольных и поперечных упругих волн, скорости пластических волн). В [82] показано, что при локальная скорость пластической волны нагрузки с ограничена неравенствами

а в случае

причем может быть только тогда, когда ниже волны пластической нагрузки располагается область, в которой нормальные напряжения а и постоянны.

В [82] сделаны также некоторые замечания относительно волны нагрузки в случае классического допущения об упругой разгрузке. На основе анализа нагружения границы полупространства напряжениями монотонно возрастающими от нуля, а затем монотонно убывающими с момента показано, что могут существовать два различных случая однозначного определения волны разгрузки. В первом случае начальная скорость волны разгрузки ограничена в пределах (когда ) или в пределах во втором случае (когда ) в пределах или Первый случай имеет место тогда, когда изменяется знак градиента нормальной нагрузки на границе при неизменном знаке градиента касательной нагрузки

или же при их одновременном изменении. Таким образом, в этом случае возникновение волны разгрузки определяется только изменением знака градиента нормальной нагрузки Второй случай имеет место тогда, когда при монотонном возрастании нормальной нагрузки или ее постоянстве меняет знак градиент касательной нагрузки Условия, ограничивающие скорость волны разгрузки, сходны с рассмотренными Клифтоном [21] для быстрых и медленных простых пластических волн в тонкостенном упругопластическом цилиндре. Подобные результаты получены также в работе [214].

В работе [81], так же как и в [82], решена задача о распространении продольно-поперечных волн в полупространстве с той лишь разницей, что в процессе нагрузки движение среды описывалось уравнениями (2.13), а в процессе разгрузки была принята характеристика жесткой разгрузки (интенсивность деформации в процессе разгрузки не зависела от времени). С помощью такой модели можно приближенно рассчитать деформирование песчаных грунтов с малой влажностью в пределах средних давлений. При этом можно считать, что объемная деформация необратима и практически не меняется в процессе разгрузки. Введение понятия о жесткой разгрузке (так же как и в случае однопараметрического нагружения границы) позволило решить в замкнутом виде задачу о распространении продольно-поперечных волн.