24. Продольно-поперечные волны в неоднородной упруго/вязкопластической среде

24.1. Плоские волны

Задача о распространении продольно-поперечных плоских волн в случае неоднородной упруго/вязкопластической среды была решена в работе [142]. За основу были приняты определяющие уравнения деформации грунтов (4.16) и (4.18) для общего случая неоднородной среды с физическими характеристиками: модули формоизменения и объема коэффициенты вязкости у и расширения а, предел текучести и плотность являются функциями пространственной переменной . В случае такой неоднородности уравнения (4.16) и (4.18) приобретают вид

Для малых деформаций такой среды, заполняющей полупространство (рис. 70), на границе которого заданы

краевые условия (22.1), учитывая условия (22.3) и уравнение движения

задачу можно свести к решению следующей системы уравнений

где

Система (24.3) решалась при нулевых начальных условиях при

Дифференциальные уравнения характеристик этой системы имеют вид

Вдоль характеристик имеют место соотношения

Дополнительное соотношение получается из определяющих уравнений (24.1) при

где

Формы фронтов волн нагрузки и разгрузки определяются в этом случае не только краевыми условиями, но также характером неоднородности среды.

В случае волны нагрузки (разгрузки) слабого разрыва, подобно тому как это было сделано для однородной среды , можно определить локальную скорость фронта волны.

Из полных дифференциалов интенсивности напряжений определенных в направлении касательной к фронту волны нагрузки (разгрузки) и в направлении характеристики продольной или поперечной волны, получаются следующие формулы для локальной скорости распространения фронта волны нагрузки (разгрузки):

либо

где соответственно скорости распространения продольных и поперечных волн; интенсивности напряжений вдоль направлений, определенных соответственно через в координатной плоскости Из анализа формул (24.7) следует, что фронт волны нагрузки (разгрузки) может принимать всевозможные положения относительно характеристик продольных и поперечных волн в отличие от случая однородной среды, где скорость пластической волны нагрузки (разгрузки) была ограничена в пределах (см. (23.12)). Если то фронт пластической волны нагрузки располагается ниже характеристики продольной волны. Положение этого фронта определяется условием где интенсивность напряжения в области упругих деформаций перед фронтом пластической волны. Если т. е. фронт пластической волны нагрузки находится между характеристиками продольных и поперечных волн или же в предельном случае совпадает с одной из них.

Исследован также случай, когда тогда это означает, что фронт пластической волны нагрузки располагается выше характеристики поперечной волны.

Систему уравнений (24.3) в общем случае можно решить численно методом разностных уравнений, определенных на сетке характеристик, используя при этом соотношения на характеристиках (24.5) и равенство (24.6), или же путем сведения уравнений (24.3) к интегро-дифференциальным уравнениям и решению их методом последовательных приближений. Вычисления в этом случае значительно более сложны, чем в случае однородной среды. Можно определить некоторый класс неоднородных сред, для которых в областях упругих деформаций решения получаются в замкнутом виде.

Если принять изменение модулей и плотности среды по показательному закону, то система уравнений

(24.3) при сведется к телеграфному уравнению. В работе [142] представлен также другой способ решения задач в областях упругих деформаций, а именно способ сведения уравнений (24.3) (при ) к уравнениям Эйлера — Дарбу; при этом исследован довольно широкий класс неоднородностей. Приведено построение решения задачи для случая волны слабого разрыва (аналогично тому, как это сделано в п. 23.1) и даны некоторые замечания о решении для случая волны сильного разрыва. Во второй части цитированной работы численным путем исследовано влияние неоднородности среды общего вида и отдельно коэффициента объемного расширения на дисперсию продольно-поперечных плоских волн. Результаты анализа сводятся к следующему:

Рис. 81.

1. Установлено, что по сравнению с результатами для однородной среды исследованная неоднородность среды вводит существенное изменение в распределение напряжений как в качественном, так и в количественном отношении. С ростом (уменьшением) модулей и К и плотности среды происходит рост (уменьшение) составляющих тензора напряжений. Это является результатом увеличения (уменьшения) коэффициента непрерывного отражения падающих волн при неоднородности среды.

2. С ростом коэффициента объемного расширения составляющие тензора напряжений уменьшаются; этот эффект возрастает с увеличением коэффициента вязкости среды.

3. С ростом коэффициента объемного расширения и вязкости среды увеличивается петля вязкопластического гистерезиса.