Глава VI. ВОЛНЫ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

28. Решение дифференциальных уравнений теории температурных напряжений

Рассмотрим сначала способ получения частного решения основных уравнений термоупругости для некоторого достаточно широкого класса задач [84]. Допустим, что отсутствуют массовые силы, источники тепла, и предположим начальные условия однородными для поля температуры и для величин, характеризующих деформированное состояние.

Воспользуемся операторным методом отыскания частного решения для упругой среды [84]. Получающееся решение отличается простотой, ввиду того что выражается через интегралы от поля температуры и его градиентов. Таким образом, некоторые динамические задачи можно свести к соответствующим задачам теории упругости. Применяемые методы требуют многократного интегрирования и знания элементарного решения. Последнее, однако, возможно лишь для немногих конфигураций тела.

Решение основных уравнений динамической термоупругости без учета массовых сил

можно искать в виде суммы двух функций

где функция удовлетворяет только неоднородному уравнению (28.1) безотносительно к заданным краевым и начальным условиям, функция же удовлетворяет однородному уравнению

и соответствующим преобразованным краевым и начальным условиям.

Если поле температуры удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности Фурье, которое запишем в виде

где коэффициент диффузии тепла, скорость распространения продольных волн и то частное решение ниже приведенных условиях) можно получить путем непосредственного интегрирования.

Решение уравнения (28.1) будем искать в виде

Подставляя (28.5) в (28.1), получим

Применяя последовательно к обеим частям уравнения (28.6) операторы — и складывая полученные уравнения, используя при этом (28.4), получим

Тогда частное решение последнего уравнения можно получить, полагая

отсюда

Чтобы (28.9) было частным интегралом уравнения (28.6), путем непосредственной подстановки функции (29.9) в уравнение (28.6) находим, что функции должны удовлетворять уравнениям

В случае однородных начальных условий для можно положить тогда

Следовательно, при однородных начальных условиях для и и принятых предположениях относительно имеем следующее общее решение начальной задачи для уравнений динамической теории температурных напряжений;

для вектора перемещения

для деформаций

где символ обозначает ковариантную производную. Используя закон Дюамеля — Неймана

где метрический тензор, получим следующее решение в напряжениях:

Относительное изменение объема в данной точке тела равно

Это уравнение получено с учетом уравнения теплопроводности (28.4) и

Интегрирование по времени в вышеприведенном решении легко выполнимо, если учесть, что общее решение уравнения (28.4) при условиях

(где точка поверхности тела) можно представить в виде

где собственные функции и собственные значения соответствующей задачи на собственные значения.

Ниже приведем два замечания, касающихся решения общих уравнений при сделанных ранее предположениях и предположении однородности начальных условий. Эти замечания будут относиться к интервалу времени где время появления в заданной точке тела первой волны, несущей влияние границы, расстояние между точкой и ближайшей точкой поверхности тела.

Из высказанных рассуждений следует, что

1) поле вектора перемещения является потенциальным полем; следовательно, каждая точка тела испытывает чистую деформацию;

2) если температура в каждой точке поверхности тела то в каждой точке внутри тела в интервале времени относительное изменение объема 0 будет всегда меньше нуля. Это, несомненно, является следствием эффекта теплового расширения тела.

Используя приведенный выше способ, решение многих одномерных динамических задач теории температурных напряжений можно свести к вычислению конечного числа интегралов от температуры и ее производных.

Изложенный метод обобщен на случай динамических задач термовязкоупругости с помощью упруго-вязкоупругой аналогии [85]. Этот метод можно также применить к динамическим задачам термопластичности, когда упрочнение материала является кусочно линейным или имеется идеально вязкопластический материал.