30. Тепловой удар на границе сферической полости в упруго/вязкопластическом пространстве

Рассмотрим неограниченную среду со сферической полостью радиуса поверхность которой в момент подвергнута внезапному равномерно распределенному нагреву до температуры и эта температура затем поддерживается неизменной. Определяющие уравнения (3.31) в случае сферической симметрии (см. п. 16) и в предположении имеют вид [80]

где

Уравнение теплопроводности (28.4) при краевых условиях

и начальном условии

имеет решение в виде

Система уравнений (30.1) и (30.4) вместе с уравнением движения (5.5) и условием непрерывности (5.21):

дает возможность однозначно определить решение при данных граничных условиях

Введя безразмерные переменные

можно показать, что система уравнений (30.1), (30.5) имеет следующие характеристики:

Вдоль характеристик (30.8), принимая решение уравнения теплопроводности в виде (30.4), получим следующие соотношения [80]:

Перейдем теперь к решению на координатной плоскости Область определена как область упругих деформаций. Ввиду того что соотношения вдоль характеристик (30.9) даже в области упругих деформаций (при ) проинтегрировать нельзя, решение в области приходится определять иным путем, используя метод, приведенный в

Рис. 101.

Учитывая, что систему уравнений (30.1) и (30.5) в области упругих деформаций можно свести к виду

где

или к виду (28.1).

Частным интегралом уравнения (30.10) (см. п. 28) при нулевых начальных условиях для поля температуры будет функция

В силу начального условия (30.6) 2, функция (30.11) является решением начальной задачи в области Вычисляя градиент поля температуры, определенной формулой (30.4), подставляя его значение затем в формулу (30.11), окончательно получим

выражение для перемещений в области которое в безразмерных переменных (30.7) принимает вид

Выражения для полей деформаций и скорости получим непосредственно из (30.12):

(см. скан)

Составляющие тензора напряжений определим из закона Дюамеля — Неймана (28.14). В области имеем

Когда интенсивность деформаций в области достигает значения в среде появляется волна пластической нагрузки слабого разрыва. На рис. 101 она представлена кривой и определяется из условия

Подставляя в (30.15), получим уравнение, определяющее форму волны в неявном виде. Этим способом волна определяется только до некоторого сечения в котором . В результате геометрической дисперсии интенсивность деформации вдоль характеристик убывает до нуля при Следовательно, чтобы на волне выполнялось условие (30.15), должно быть при (рис. 101). При волна определяется численно совместно с решением в областях II и методом сеток характеристик; при этом используются соотношения вдоль характеристик (30.9) и условие (30.15) на границе областей.

В области III упругих деформаций движение среды описывается уравнением (30.10). В этой области следует поставить задачу Дарбу с заданными условиями на характеристиках

Используя метод, разобранный в решение уравнения (30.10) представим в виде суммы

где частный интеграл уравнения (30.10), решение однородного уравнения

с граничными условиями

Функции определены из частного решения (30.11) уравнения (30.10) соответственно на характеристиках Так как частный интеграл (30.11) для начальной задачи (задачи Коши в области одновременно является общим интегралом уравнения (30.10), справедливым также вдоль характеристики то второе условие (30.19) упрощается:

Функция определяется из решения (30.12) при

Значение определяется из решения в области III а при

Таким образом, решение в области II сводится к решению однородного уравнения (30.18) с граничными условиями (30.20). Решение уравнения (30.18) можно представить в виде

Подставляя этот результат в граничные условия, получим

Окончательно решение в области III в перемещениях будет иметь вид (в безразмерных координатах

Остальные параметры решения теперь легко определяются.

Перейдем поочередно к решению в следующих областях IV и V. В результате влияния границы в среде начнет распространяться волна сильного разрыва с уравнением По аналогии со случаем полупространства можно показать, что при выполнении условия (30.15) на некотором отрезке ( волна будет пластической волной.

Решение на волне получим из равенства на положительной характеристике. При этом нужно учесть соотношения (30.14), которые справедливы на фронте волны сильного разрыва для упруго/вязкопластической среды, а также условие кинематической непрерывности

и условие непрерывности перемещений, из которого вытекает условие непрерывности составляющей деформации

Используя эти соотношения, получим следующее частное интегральное уравнение для составляющей деформации на фронте волны

где

В (30.27) постоянная интегрирования определена из краевого условия следующего из принятых нулевых

начальных условий. Входящие в (30.27) функции определены формулами (30.13) для Интегралы от этих функций не являются элементарными, поэтому некоторые из них следует вычислять, используя разложения в ряды и беря несколько первых членов разложения.

Для исследования сходимости решения можно установить, что

Так как функция ограничена, т. е. то

Дальнейшие оценки решения проводятся аналогично тому, как это было сделано для уравнения (20.9). Конечная точка пластической волны сильного разрыва определяется из условия

В точке (рис. 101) пластическая волна сильного разрыва переходит в волну слабого разрыва подобно тому как это было в случае плоских волн. Решение на волне сильного разрыва при получим также из (30.26), полагая Функции входящие в (30.27), следует одновременно определить из решений в областях II и III.

Область IV представляет собой область вязкопластических деформаций, ограниченную волной, уравнение которой (рис. 101). Область V для является областью разгрузки. Решение в областях IV и V проводится одновременно с определением кривой методом сеток характеристик. Волна определяется из условия

интенсивность деформаций на характеристике со стороны области

Для тех же числовых данных, что и ранее, но с дополнительно заданным радиусом сферической полости сделан

числовой пример, При расчетах в соотношениях (30.13), (30.14) и (30.27) отброшены малые величины низшего порядка, что позволило значительно упростить вычисления (опущены члены порядка Результаты вычислений представлены на рис. 102.

Можно заметить, что пластическая волна ограничивающая область вязкопластических деформаций, уже для очень малых значений времени приближается к кривой ограничивающей область пластических деформаций при квазистатическом подходе к задаче.

Рис. 102.

Решение квазистатической задачи для случая сферической симметрии было дано Ранецким [111].

Задача о тепловом ударе на границе сферической полости в упругопластическом неограниченном пространстве была решена в [113].

Следует заметить, что и в случае сферических волн, вызванных тепловым ударом, распределение остаточных напряжений и деформаций в среде почти одинаково при определяющих уравнениях как теории вязкопластичности, так и деформационной теории Генки — Ильюшина.

В заключение настоящей главы заметим, что влияние температуры на поле деформаций следует учитывать лишь тогда, когда тело нагрето извне. В случае теплового удара прирост температуры на границе тела порядка вызывает в теле пластические деформации порядка 2%. Когда же тепло не подводится к телу извне, а учитывается сопряжение с полем

температур в определяющих соотношениях и уравнение теплопроводности сопрягается с полем деформаций, можно установить лишь незначительное изменение температуры в теле и пренебрежимо малое изменение поля деформаций, вызванное температурными эффектами. В случае связанных уравнений термовязкопластичности [166] для адиабатического процесса на примере алюминиевого стержня, ударяющегося со скоростью о недеформирующуюся преграду, установлено, что средняя температура стержня возрастает приблизительно на 6 °С, изменения же в деформациях, вызванные приростом температуры, не были замечены. Подобные явления наблюдались также для процессов квазистатических нагружений.