2. Теории пластичности

Ниже будут представлены основные соотношения некоторых теорий пластичности: деформационной, билинейной и теории течения. Эти теории, в которых не учитывается влияние скорости деформации на соотношения между напряжениями и деформациями, часто применяются к динамическим задачам пластичности ввиду того, что они довольно подробно исследованы, а также ввиду хороших практических приближений, какие эти теории дают для определенного класса задач.

2.1. Деформационная теория пластичности

Определяющие уравнения теории малых упругопластических деформаций (уравнения Надаи — Генки — Ильюшина) являются обобщением соотношений теории упругости. В этой теории

принимаются три следующих постулата, причем два первых такие же, как и в теории упругости:

1. Главные направления тензора напряжений совпадают с главными направлениями тензора деформаций.

2. Среднее нормальное напряжение пропорционально средней деформации; коэффициенты пропорциональности одинаковы как для упругого, так и для пластического состояний.

3. Интенсивность напряжений есть функция только интенсивности деформаций, причем эта функция должна быть определена для каждого материала экспериментальным путем, т. е.

здесь есть функция только интенсивности деформаций, означают соответственно интенсивности напряжений и деформаций, определенные в виде

Система уравнений деформационной теории имеет вид [131]

( — тензоры направлений и подобия, постоянные Ламе). Из системы (2.2) путем преобразований получаются определяющие соотношения вида

Функция определяется экспериментальным путем. Она задается соотношением (2.1). Зависимость мало отличается от зависимости (рис. 5), полученной при одноосном напряженном состоянии. Функцию можно получить из функции путем неоднородного изменения масштабов осей координат (рис. 5). Характер графика остается тем же самым. При одноосном напряженном состоянии коэффициент поперечного сжатия.

Состояния, описываемые уравнениями (2.3), отвечают процессам нагрузки, т. е. процессам, при которых интенсивность деформаций есть возрастающая во времени функция: Когда а, достигнув некоторого значения, например (рис. 5) в точке , начинает уменьшаться, наступает процесс разгрузки. При этом и разгрузка будет происходить по прямой параллельной прямой Гука

Уравнения деформирования при разгрузке будут иметь вид

звездочками обозначены напряженное и деформированное состояния, отвечающие началу разгрузки.

Рис. 5.

В теории малых упругопластических деформаций при учете температурного поля принимается, что интенсивность напряжений есть функция интенсивности деформаций и температуры Т:

и

Здесь а — коэффициент температурного расширения. Функция определяется экспериментальным путем из опыта на простое растяжение цилиндрических образцов при разных температурах. Функция в пространстве представляет некоторую поверхность (рис. 6) [130]. В области упругих деформаций где предел текучести, зависящий от температуры) эта поверхность переходит в линейчатую поверхность, уравнение которой имеет вид

где - модуль деформации формы, зависящий от температуры.

Рис. 6.

Процесс активного нагружения в произвольной точке среды представлен в пространстве кривой на поверхности (2.5). При разгрузке процесс деформации в случае одноосного напряженного состояния представлен в этом пространстве кривой, лежащей на поверхности, параллельной (2.7):

Такая геометрическая интерпретация процесса деформации позволяет установить, что активная нагрузка в каждом элементе тела в случае зависимости механических характеристик материала от температуры происходит при условии , а разгрузка — при условии

Определяющие уравнения деформационной теории для сложного напряженного состояния в случае малых деформаций имеют следующий вид:

в области активного пластического нагружения

в области разгрузки

где звездочкой обозначены значения соответствующих величин в момент начала процесса разгрузки (т. е. когда причем индексами ей обозначены упругие и пластические составляющие девиатора тензора деформаций

Предполагая независимость постоянных материала от температуры, получаем уравнения деформационной теории, учитывающей температурное поле:

в области активного пластического нагружения

в области разгрузки