7. Условия динамической и кинематической непрерывности на фронтах разрывов

7.1. Условие динамической непрерывности

Определим условия динамической непрерывности на фронтах разрывов. Обозначим через поверхность, разделяющую область V на две части и (рис. 19). Пусть части поверхности ограничивающие соответственно области и Через обозначена нормальная скорость перемещения поверхности в направлении объема Так как изменение объема V связано только с движением частиц среды, то нормальная скорость точек поверхности равна . В частном же случае, когда деформация области V определена только жестким движением частиц,

Для деформируемой среды справедливо следующее равенство [37] или [71]:

где -непрерывная и дифференцируемая функция координат и времени скорость движения поверхности в направлении ее внешней нормали относительно принятой системы координат.

Используя формулу (7.1), для областей 1 и 2 (рис. 19) можно написать следующие соотношения [132]:

Областью интегрирования является часть поверхности расположенная в области

Рассмотрим случай волн сильных разрывов, а именно случай, когда функция имеет разрыв на поверхности Обозначая индексами 1 и 2 значения функции соответственно со стороны областей 1 и 2, из формул (7.2) получим следующее соотношение:

Возьмем в качестве функции плотность среды или

Используя принцип сохранения массы (5.6) и предполагая, что масса в процессе деформации остается неизменной, т. е.

получаем из (7.3) выражение

Совершим теперь в (7.6) предельный переход при для фиксированного момента так, чтобы объем V перешел в пределе в часть поверхности Тогда получим

где скорости частиц, нормальные к поверхности соответственно со стороны областей 1 и 2.

Таким образом, в силу произвольности размера области интегрирования из (7.7) получим следующее условие:

В случае когда поверхность перемещается в обратном направлении, т. е. в направлении области условие (7.8) примет вид

Положим теперь в формуле (7.3)

тогда получим выражение

Пользуясь принципом сохранения количества движения (5.1) в случае отсутствия внешних массовых сил (т. е. когда ):

левую часть равенства (7.10) можно заменить интегралом по поверхности от вектора напряжения следовательно

(7.10) приобретает вид

Выполняя аналогичный предельный переход при как и прежде, получаем

где составляющие тензора напряжений соответственно со стороны 1 и 2 поверхности В силу произвольности размера области соотношение (7.13) примет вид

и с помощью (7.8) получаем

Вводя обозначения для величин скачка напряжения и скорости при переходе через поверхность

из (7.15) получаем

Это условие носит название условия динамической непрерывности. Если поверхность будет перемещаться в сторону области 1, то условие динамической непрерывности примет вид

Ввиду того что скорость мала по сравнению со скоростью фронта волны, условие динамической непрерывности приводится к виду