18. Ударные сферические волны в упругопластической однородной среде

Рассмотрим задачу о распространении сферических волн в упругопластической среде, аналогичную рассмотренной в предыдущем пункте, с той лишь разницей, что принята характеристика с положительной кривизной, т. е. Приведем решения, представленные в работе [1391

Рис. 65.

Функцию выберем согласно рис. 65, предполагая одновременно для простоты, что Рассмотрим случай давления, внезапно приложенного к границе полости и затем монотонно убывающего до нуля.

Это предположение упрощает решение, так как в этом случае фронт ударной волны является одновременно волной разгрузки. Когда независимо от характера краевого условия в области будет распространяться фронт ударной волны с переменной скоростью. С целью дальнейших упрощений примем аппроксимацию кривой отрезками прямых.

Функцию можно представить в следующем виде:

где значения переменной , соответствующие точкам излома (рис. 65) между отрезками и значение

переменной 0 на фронте волны со стороны области разгрузки;

соответственно окружные и радиальные остаточные деформации.

Метод построения решения поставленной задачи остается тем же, что и в рассмотренном в случае плоских ударных волн. Вид решения в координатной плоскости представлен на рис. 66. В невозмущенной области (начальное условие принято нулевым) распространяется ударная волна

Рис. 66.

Благодаря принятому краевому условию эта волна одновременно является волной разгрузки. Решение строится следующим образом. Зададим достаточно малую область ограниченную ударной волной и положительной упругой характеристикой Приближенным способом определяем начальный отрезок ударной волны предполагая при этом, что он совпадает с касательной к действительной волне в точке т. е. что

Начальную скорость ударной волны определяем из условий динамической и кинематической непрерывности на фронте ударной волны и из краевого условия при

Условия динамической (7.18) и кинематической (7.27) непрерывности на фронте ударной волны в случае сферической симметрии имеют вид

Из этих условий при получим

здесь определяется из уравнения

Начальный отрезок ударной волны можно определить точно путем разложения функции в ряд Маклорена в окрестности ее начальной точки аналогично тому, как это было сделано в п. 13 для случая плоской ударной волны.

В области решение следует строить численно методом конечных разностей, исходя из соотношений на характеристиках (17.25) (где вместо функции необходимо принять соотношение

Уравнение движения, описывающее процесс разгрузки в областях получим из уравнения (17.6), представив в нем функцию по формуле (18.1):

Так же как в ранее рассмотренном случае распространения упругопластических сферических волн, представим решение этого уравнения в виде суммы двух функций

которые удовлетворяют следующим уравнениям:

Решение в области II проводится затем так же, как в области для случая, рассмотренного в

Несколько иначе строится решение задачи о разгрузке в области так как при этом необходимо определить следующий отрезок волны разгрузки заключенный между точками (рис. 66). Для определения волны разгрузки используются условия динамической и кинематической непрерывности (18.3); в предположении, что ударная волна

распространяется в невозмущенной среде, получим дополнительное условие, а именно

Условия (18.3) необходимо представить в перемещениях Исключая затем в них получим соотношение, которому должна удовлетворять функция на фронте ударной волны. Способ определения волны разгрузки и решения задачи в области III подробно рассмотрен в работе [139]. Решения в последующих областях координатной плоскости строятся так же, как в областях II и III.