27. Распространение плоских двумерных волн напряжений

Большинство решений задач, связанных с распространением волн напряжений в неупругих средах, основывается на предположении о симметрии тел и симметрии краевых условий, например сферической или цилиндрической симметрии (см. гл. IV), или же на предположении, что поверхностные силы распределены на границе равномерно, изменяясь только во времени (см. задачи, представленные в предыдущих пунктах настоящей главы). В действительности, однако, равномерное распределение напряжений на границе среды реализуется редко. Обычно при взрыве, произведенном на границе среды, возникает концентрация давления на малой площади, за которой давление убывает. Решение задач такого типа сложно, и в литературе существует очень мало работ, посвященных этим важным с точки зрения практики задачам. Помимо теоретических исследований они требуют очень сложных и трудоемких числовых расчетов. Достаточно хорошо разработана лишь теория двумерных волн напряжений в упруго/вязкопластических средах [5, 7—9, 163, 165, 192, 217]. Этот пункт посвящен главным образом двумерным волнам в таких средах.

Рассмотрим плоскую деформацию сжимаемой упруго/вязкопластической среды. Предположим, что среда изотропна и однородна. Будем пренебрегать внешними массовыми силами, ограничимся случаем малых деформаций среды. Выберем систему ортогональных декартовых координат Рассмотрим плоскость . В случае плоского напряженного состояния составляющими вектора перемещения и будут

Составляющие тензора деформации в рассматриваемом случае имеют вид

Обозначая составляющие вектора скорости через составляющие тензора скорости деформации можно записать как

Напряженное состояние удовлетворяет условию Остальные составляющие тензора напряжений, так же как и составляющие тензора деформаций, вектора перемещения и скорости являются функциями только следовательно,

Уравнения движения имеют вид

Определяющие уравнения, описывающие динамическое поведение упруго/вязко-идеально пластической среды, примем в виде (3.20). Эти уравнения для деформированного (27.3) и напряженного (27.4) состояний имеют следующий вид:

где

Рассуждения этого пункта легко обобщить на случай определяющих уравнений, учитывающих влияние упрочнения

материала, если принять функцию в виде (3.8) с условием пластичности Губера — Мизеса

а также на случай динамических деформаций упруго/вязкоидеально пластических грунтов, описываемых уравнениями

Введем, следуя Клифтону [20], следующие безразмерные величины для скоростей времени декартовых координат предела текучести при чистом сдвиге и коэффициента вязкости у:

где чертой над соответствующими символами обозначены размерные величины, соответственно скорости распространения продольных и поперечных упругих волн:

b - характерная величина рассматриваемой задачи. Введем, кроме. того, безразмерные, напряжения определяемые следующими формулами:

Заменяя первые два уравнения (27.6) их суммой и разностью, используя, кроме того, соотношения (27.3), принимая обозначения (27.10) и (27.12), получим следующую систему четырех определяющих уравнений:

где

С учетом (27.10) и (27.12) уравнения движения (27.5) примут вид

Система уравнений (27.13), (27.14) составляет полную систему уравнений задачи, которую можно представить в матричной форме:

где векторы и В имеют вид

а матрицы выражаются как

где

Матрицы симметрические, матрица А — симметрическая положительно определенная. Легко видеть, что уравнения (27.15) представляют почти линейную симметрическую гиперболическую систему дифференциальных уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами при производных.

При упрощающем предположении Саузвелла и Аллена, принятом в работе [7], получается более простой вид векторов (27.17) и матриц (27.17). Предположение Саузвелла и Аллена основывается на том, что упругая и вязкопластическая части скорости деформации полагаются одновременно равными нулю.

Представляя тензор скоростей полных деформаций как сумму упругой и пластической частей:

где

и приравнивая отдельно обе части скорости деформации нулю, получим

Отсюда в области упругих деформаций имеем

где коэффициент Пуассона. В области вязкопластических деформаций

Таким образом, составляющая тензора напряжений определена неоднозначно. Она будет определена однозначно только

в случае несжимаемой среды. Тогда

Система уравнений (27.15) есть система шести почти линейных уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа с тремя независимыми переменными с постоянными коэффициентами при производных. Теория этих уравнений изложена, например, в монографии Куранта и Гильберта [24]; она является обобщением представленных кратко в систем уравнений с большим числом независимых переменных, чем две. Соответствующий метод был применен в пространственных задачах динамики газов в работах [159, 160, 196, 198]. Этот метод был также применен в динамических задачах теории упругости в работах [161, 20, 195, 199, 182, 206—208]. В динамических задачах теории пластичности этот метод применялся в работах [29, 173, 169, 116]. В волновых задачах теории вязкопластичности метод был использован в работах [5, 167, 181, 8, 9, 154—157, 217, 158].

Перейдем теперь к исследованию характеристических свойств системы уравнений рассматриваемой задачи. В первую очередь займемся анализом геометрии характеристических поверхностей, связанных с уравнениями (27.15).

Условие, при котором поверхность будет характеристической поверхностью уравнения (27.15), есть

равенство нулю определителя характеристической матрицы А:

где

Уравнение (27.23) эквивалентно уравнению

Из (27.25) можно вывести ряд следствий. Ясно, что

есть волновое уравнение поверхности, распространяющейся со скоростью продольных волн а

есть волновое уравнение поверхности, распространяющейся со скоростью Оставшийся же в (27.25) член можно интерпретировать как определяющий вырожденные характеристические конусы, сводящиеся к оси (их уравнения: Это так, как если бы характеристическая поверхность распространялась с нулевой скоростью.

Проходящие через точку характеристические конусы, которые являются огибающими всех решений уравнения (27.25), имеют вид

где

Вводя сферические координаты, эти уравнения характеристических конусов можно представить в параметрической форме:

где параметр а есть угол в плоскости

Соотношения (27.27) суть искомые уравнения бихарактеристик; они являются образующими характеристических конусов (рис. 84). Характеристическая полоса связана с бихарактеристиками (27.27), проходящими через точку следующим образом:

Если характеристическая поверхность уравнения (27.15), то существует такой собственный вектор 1 (см. [24]), что

где А — характеристическая матрица, определяемая формулой (27.24).

Рис. 84.

Вектор 1, связанный с характеристической полосой, определяемой формулами (27.27) и (27.28), имеет следующий вид:

Если — собственный вектор для характеристической поверхности то дифференциальное уравнение на поверхности получим из условия

где точка означает внутреннее произведение. В это уравнение не входит производная по направлению нормали к поверхности следовательно, в каждой точке оно может быть выражено через производные в двух направлениях на поверхности Можно, например, выбрать бихарактеристические направления и направление, вдоль которого время постоянно. Производную

функции в бихарактеристическом направлении можно представить как

где вдоль бихарактеристик определяются путем дифференцирования уравнений (27.27). Используя выражения (27.15) и (27.30) и заменяя для простоты углы на , уравнение (27.31) можно представить в следующем виде:

где

Пространственные производные в (27.34) отвечают производным в направлении, касательном к характеристическому конусу.

В работе [20] представлено решение уравнения (27.15) при (т. е. для случая уравнений теории упругости) методом конечных разностей. Затем в работах [7, 8] этот метод был распространен на почти линейные уравнения, т. е. на уравнения вида (27.15). Метод конечных разностей в случае трех независимых переменных (а также в случае большего числа

независимых переменных) принципиально отличается от метода сеток характеристик, описанного в предыдущих главах. Этот метод в случае двух переменных основан на сведении системы дифференциальных уравнений с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль выбранных характеристических кривых. Затем полные дифференциалы вдоль характеристик заменяются их конечными разностями.

Метод сеток характеристик нельзя непосредственно перенести на случай большего, чем два, числа переменных, т. е. на пространственные задачи. Причиной этого является тот факт, что дифференциальные уравнения вдоль бихарактеристик содержат дифференцирование в больше чем одном направлении. В выражения (27.34) для входит дифференцирование по пространственным переменным . В цитированных работах [7, 8, 20] применение разностного метода для смешанных краевых задач газодинамики перенесено на уравнения теории упругости и теории вязкопластичности. Этот метод основан на исключении всех производных искомых функций точке (рис. 84), в которой ищется дискретное решение задачи.

В работах [7, 8, 20] рассмотрены исключительно задачи распространения волн слабого разрыва. Предполагалось, что нагружение границы полупространства, увеличиваясь монотонно во времени от нуля до некоторого определенного значения, затем монотонно убывает. На плоскости можно задать краевые условия для напряжения или же для скорости либо для обеих этих величин одновременно. Случай разрывных во времени нагрузок требует сложного анализа распространения волн сильного разрыва. Довольно большую трудность представляет также определение фронта волны пластической нагрузки, а также волны разгрузки. Фронты этих волн удалось определить лишь приближенным способом.

На точность метода влияет величина выбранного шага интегрирования. Клифтон [20] на примере упругих волн показал, сколь значительно влияние на погрешность решения имеет выбор шага интегрирования. Если шаг интегрирования выбрать так, чтобы выполнялось условие устойчивости решения, ошибка растет линейно. В случае нарушения этого условия ошибка растет чрезвычайно быстро. Для случая системы почти линейных уравнений вопросы сходимости решения и вопросы устойчивости метода не исследовались.

Представляется более целесообразным решать системы уравнений (27.13), (27.14) непосредственно, например методом конечных элементов [195] либо методом конечных разностей по неявной схеме. Тогда решение системы разностных уравнений

будет устойчивым независимо от выбранного шага интегрирования. Этот способ решения позволяет избежать многочисленных преобразований в соотношениях (27.34) и многих численных осложнений, особенно в случае сложных краевых условий.

Анализом распространения волн слабого разрыва в упругопластическом полупространстве занимался М. И. Эстрин [29]. Он дал представление для скорости волн в упругопластической среде и описал две кривые, отвечающие двум типам волн. Характерной чертой этих кривых является то, что они зависят от направления распространения возмущений и от направления главного нормального напряжения. При (а — угол между направлением нормали к проекции характеристической поверхности на плоскость и осью ) эти волны распространяются соответственно со скоростями волн расширения и волн сдвига.

Рис. 85.

На рис. 85 на плоскости даны диаграммы скоростей распространения волн расширения и волн сдвига. На этом рисунке легко заметить, что скорости волн расширения почти не зависят от направления возмущений (кривая а). Эта кривая мало отличается от окружности. Скорости волн сдвига (кривая б) существенно зависят от угла а. В направлении главного касательного напряжения они равны нулю. Кривая в представляет упругие волны сдвига; это есть окружность радиуса

В упруго/вязкопластической среде скоростям продольных волн и волн сдвига отвечают окружности соответственно радиусов [7, 8]. Они отвечают случаю упругой среды. Это вытекает из характера определяющих уравнений упруго/вязкопластических сред, приведенных в гл. I.

Следует также обратить внимание на интересную работу Сауервайна [116], в которой исследуется скорость распространения волн в анизотропной упругопластической среде, описываемой уравнениями динамики грунтов С. С. Григоряна. Путем широкого использования техники числовых расчетов в [116] исследовано влияние неоднородности среды на скорость распространения волн расширения и волн сдвига в зависимости от анизотропии среды.

Рассмотрим теперь решение задачи о распространении волн в упруго/вязкопластическом полупространстве, содержащем цилиндрическую полость, для переменной во времени и в пространстве нагрузки на границе в предположении плоского деформированного состояния и малых деформаций среды.

Введя систему биполярных координат [179, 186, 189], решим задачу о распространении волн, интегрируя уравнения задачи по времени и используя метод Треанора [150] с переменным шагом интегрирования.

Рис. 86.

Исследуем движение упруго/вязкопластической среды, заполняющей полупространство на поверхности которого приложено переменное во времени и в функции нормальное напряжение (рис. 86):

Предполагается, что это напряжение является непрерывной функцией времени, возрастающей от нуля в момент и что интенсивность его в некотором промежутке превосходит предел текучести материала при чистом сдвиге. На границе полупространства можно также задать касательное напряжение переменное как во времени, так и в функции

Внутри полупространства на расстоянии от границы полупространства находится цилиндрическая полость радиуса

В случае плоского деформированного состояния отсутствуют составляющие тензора деформаций:

и составляющие тензора напряжений:

В плоскости выбрана система биполярных криволинейных координат На рис. 87 [179, 189, 186] обозначают координаты точки внутри полупространства, -радиус цилиндрической полости, приведенные координаты точки М:

глубина расположения цилиндрической полости внутри полупространства:

В системе биполярных координат точки (рис. 87), расположенные на оси с абсциссами являются полюсами преобразования в декартовой системе координат

Введем обозначения

где соответственно расстояния точки до полюсов преобразования на плоскости ; соответственно углы, которые образуют эти радиусы (расстояния) с осью У. Имеем

и обратные соотношения

Кривые представляют семейство окружностей радиуса с центрами и . Ось отвечает кривой значению (положительному), где отвечает окружность, совпадающая с контуром цилиндрической полости. Кривые представляют дуги окружностей,

проходящих через центры причем угол, образованный радиусами Кривые имеют разрыв величиной между центрами на оси

Полуплоскость расположенная вне цилиндрической полости, преобразуется на плоскости в прямоугольник (рис. 88).

Рис. 87.

Если дополнительно принять, что нагружение границы полупространства симметрично относительно оси то, рассматривая движение среды в биполярных координатах достаточно ограничиться, например, областью т. е. зоной (рис. 88).

Так как динамические уравнения задачи будут записаны в системе биполярных координат, введем сначала метрику пространства. На основании (5.7) метрический тензор в биполярных координатах имеет составляющие

и следующие составляющие обратной матрицы:

Определитель матрицы равен

Определим теперь символы Кристоффеля второго рода. Выразим их через координаты метрического тензора

Рис. 88.

В случае ортогональных криволинейных координат символы Кристоффеля определим на основании формул (5.11), причем биполярные координаты . В рассматриваемом случае символы Кристоффеля второго рода имеют вид

Остальные символы Кристоффеля второго рода равны нулю.

Отметим, что в биполярных координатах можно решить и другие динамические задачи в случае плоского деформированного состояния. К ним относятся, например, следующие задачи;

A. Полупространство, нагруженное по границе переменными нагрузками.

Полагая достаточно большим по сравнению с радиусом цилиндрической полости можно в системе биполярных координат построить решение задачи о распространении волн в полупространстве, на границе которого заданы напряжения переменные во времени и в функции координаты

В предельном случае можно решить динамическую задачу Ламба, задавая на границе полупространства нагрузку распределенную по оси в виде

где - сила, сосредоточенная на единице длины, функция Дирака, функция Хевисайда. Эту задачу ввиду симметрии нагрузки также можно решать на плоскости ограничиваясь вычислениями, например, в области т. е. зоной (рис. 88).

Б. Взрыв внутри цилиндрической полости в полупространстве.

На границе где цилиндрической полости, расположенной на расстоянии от границы полупространства (рис. 87), задано переменное во времени давление

В биполярных координатах удобно исследовать задачу о распространении цилиндрических волн и дифракции их на границе полупространства Ввиду симметрии нагрузки (27.45) можно также ограничиться рассмотрением области, например т. е. при (рис. 88).

B. Дифракция цилиндрических волн на границе цилиндрической полости, расположенной в неограниченном пространстве.

Пусть внутри пространства находятся две цилиндрические полости с разными радиусами, равными (рис. 89), оси которых параллельны. Обозначим расстояние между осями цилиндрических полостей через Пусть внутри полости радиуса приложено давление (см. краевое условие Будем считать, что полость радиуса свободна от напряжений либо внутри нее приложено постоянное давление

Введем систему биполярных координат на плоскости исходной системы координат так, чтобы окружности радиусов, отвечающих причем совпадали с границами цилиндрических полостей.

В пространстве неограниченная область, содержащая цилиндрические полости, преобразуется в биполярных

(кликните для просмотра скана)

координатах в ограниченную область (рис. 90). Ввиду того что задача симметрична относительно достаточно ограничиться в плоскости областью в которой (рис. 90).

Г. Цилиндр с эксцентричным отверстием, подвергнутый радиальной или касательной динамической нагрузке.

Пусть цилиндр, поперечное сечение которого ограничено двумя эксцентричными окружностями (рис. 91), подвергается действию равномерно распределенного по внутренней поверхности нормального давления и переменного по внешней поверхности давления

Рис. 91.

Одновременно можно задать касательные напряжения на обеих поверхностях, переменные во времени и в функции точек границы, или предположить, что одна из цилиндрических поверхностей свободна от нормальных напряжений.

Определим на плоскости внешнюю границу как а внутреннюю границу как Примем положительными и (рис. 91).

В биполярных координатах задача сводится к определению решения в прямоугольнике (рис. 90). Предполагается, что на внутренней границе (на краю задано давление а на внешней границе (на краю давление Если симметрично относительно т. е. давление симметрично относительно оси можно ограничиться решением задачи в области (рис. 90).

Введем теперь несколько иную систему биполярных координат для которой подобно тому, как это сделано в случае цилиндрической полости, сформулируем динамическую

задачу применительно к полупространству, ослабленному сферической полостью.

Пусть в полупространстве (рис. 86) на расстоянии от границы расположена сферическая полость радиуса Внутри этой полости приложено переменное во времени давление Граница полупространства свободна от напряжений. Следовательно, мы имеем дело с осесимметричной относительно оси задачей.

Введем систему биполярных координат где угол, который вектор образует с положительной осью Соотношения (27.36) и (27.39) принимают вид

и

Соотношения, обратные к (27.47), имеют вид

Метрический тензор в биполярных координатах имеет следующие составляющие;

Так как мы имеем дело с системой ортогональных координат, то символы Кристоффеля второго рода определяются на основании формул (5.11). Тогда

Так же, как и в случае цилиндрической полости в упруго/вязкопластическом полупространстве, можно сформулировать ряд других краевых задач, которые можно описать в системе биполярных координат К ним относятся:

1) дифракция плоских волн на поверхности сферы;

2) дифракция сферических волн на другой сферической поверхности;

3) распространение волн в сфере с эксцентричной сферической полостью, вызванных динамическим нагружением внешней или внутренней поверхности.

Вернемся теперь к решению задачи динамики упруго/вязкопластического полупространства ослабленного цилиндрической полостью (рис. 86). Динамические уравнения задачи запишем в контравариантных составляющих тензора напряжений в естественном базисе, тензора скоростей деформаций и в контравариантных составляющих вектора скорости Определяющие уравнения для упруго/вязкопластической среды возьмем в виде (3.14), ограничившись при этом условием Губера—Мизеса (3.8), при котором эти уравнения приобретают вид

где

В биполярных координатах тензор напряжений имеет следующие ненулевые составляющие:

а тензор деформации имеет ненулевые составляющие:

Определим контравариантные составляющие тензора скоростей деформаций На основании (3.17) ковариантные производные вектора скоростей с учетом значений символов Кристоффеля (27.44) имеют вид

На основании формулы (3.16) составляющие тензора скоростей деформаций выражаются в виде

Определяющие уравнения (27.51) (с учетом ненулевых значений тензора скоростей деформаций (27.55) и ненулевых составляющих тензора напряжений (27.52), а также выражений (27.42)) сводятся к виду

где

Для простоты ограничимся упруго/вязко-идеально пластической средой. Примем, что функция имеет вид (3.24). Выражение (27.57) примет вид

Выведем уравнения движения среды в биполярных координатах Из уравнений движения в случае ортогональных криволинейных координат (5.19), опуская вектор массовых сил учитывая (27.52), а также (27.41) и (27.43), получим систему двух уравнений:

Контравариантные составляющие вектора ускорения а, входящие в уравнения движения (27.59), определим на основании (5.16), учитывая значения символов Кристоффеля (27.30). Тогда получим

Окончательно получим систему шести уравнений — уравнения (27.55) и (27.60) с учетом (27.56) и (27.59). Это система шести дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка относительно шести искомых величин: четырех составляющих тензора напряжений и двух составляющих вектора перемещения

Эту систему уравнений решим при нулевых начальных условиях при

и следующих краевых условиях:

1. На границе полупространства) задано

где заданная нормальная к поверхности полупространства составляющая тензора напряжений, выраженная через физические составляющие.

На границе причем (граница цилиндрической полости), задано

2. На границе (граница цилиндрической полости) задано

На границе (граница полупространства) задано

Введем теперь следующие безразмерные величины:

где скорость распространения продольных волн, скорость распространения поперечных волн:

предел текучести при чистом сдвиге.

Система уравнений задачи — определяющие уравнения (27.56), уравнения движения (27.59) с учетом (27.55) и (27.60) в безразмерных величинах (27.66) — после алгебраических

преобразований может быть представлена в следующей форме:

где

и

Начальные условия (27.61) имеют вид

Краевые условия (27.62) — (27.65) выражаются в следующем виде:

Составляющие тензора деформаций можно определить на основании формул (3.18). Поскольку вектор перемещения и имеет ненулевые составляющие и получим следующие выражения для составляющих тензора деформаций:

На основании (3.19) получаем контравариантные составляющие тензора деформаций в виде

Физические составляющие тензора напряжений тензора деформаций и вектора скорости определим на основании (3.20) и (27.41) в виде

Обозначим физические составляющие тензора напряжений и физические составляющие вектора скорости в безразмерных

координатах (27.66) волной сверху. Тогда

Систему уравнений задачи (27.56) и (27.59) с учетом выражений (27.55) и (27.60) можно представить в компактной матричной записи:

где вектор, симметрические матрицы размера матрица А положительно определена, нелинейный вектор:

(см. скан)

где

Элементы матриц А, В, С и вектора являются функциями Система уравнений (27.78) есть система квазилинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа.

Ввиду нелинейности задачи решение граничной задачи будем искать численным путем. Систему уравнений (27.78) можно решать методом конечных разностей вдоль бихарактеристик.

Решим, однако, сформулированную выше краевую задачу методом непосредственного интегрирования уравнений задачи (27.78) [192, 163]. Для интегрирования уравнений по времени используем метод Треанора [150], обобщив его на случай системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим в трехмерном пространстве семейство плоскостей где целое число, положительное число, равное отрезку дискретизации по времени.

Для определения численного решения системы уравнений (27.79) найдем такой разностный оператор чтобы в произвольной точке области определения на плоскости дискретизации решение аппроксимировалось с заданной точностью через операцию причем вектор задан на плоскости (схема явной дискретизации). Во внутренних точках области задача сводится к решению задачи Коши. В точках, лежащих на границе области, для данной смешанной начально-краевой задачи вектор должен удовлетворять дополнительно краевым условиям.

Для упрощения числовых расчетов предположим, что нагрузка на границе полупространства (рис. 86) симметрична относительно оси Это не ограничивает предложенный метод, но ограничивает лишь область определения функции, например до области (рис. 88), что приводит к двукратному уменьшению времени вычислений.

Область разделим прямоугольной сеткой прямых (рис. 92) со

значениями шагов где и где числа отрезков деления области в направлении а и Кроме того, примем

В узловых точках сетки определим геометрию задачи, т. е. определим в этих точках составляющие метрического тензора и его производные в направлениях

Предположим, что на плоскости дискретизации по времени известны значения вектора в точках пересечения сетки

Рис. 92.

Матрицы и вектор в уравнении (27.78) также определены на плоскости.

В плоскости найдем оператор

Во внутренних точках области (рис. 92) частные производные составляющих вектора в направлениях заменим соответственно центральными разностями (для фиксированного времени

В точках, лежащих на границе области , для и частные производные составляющих вектора в направлении а (для определенного времени заменим

соответственно разностями вперед и назад:

Составляющие вектора плоскости, т. е. при должны удовлетворять краевым условиям (27.72) при (граница полупространства) и при (граница цилиндрической полости). Дополнительно составляющие вектора должны удовлетворять условиям, вытекающим из симметрии задачи (поскольку предполагается, что нагрузка на границе симметрична относительно оси Следовательно, должны быть выполнены условия

Кроме того, ввиду того что следующие составляющие вектора симметричны относительно оси а составляющие антисимметричны относительно этой оси, получим следующие условия:

и

В точке О, которая является особой точкой на плоскости и отвечает на плоскости бесконечно удаленной от начала координат области, положим, что Это означает, что к точкам пространства бесконечно удаленным от начала координат, возмущения, вызванные внешней нагрузкой, не приходят за время исследования движения среды. Поэтому примем условие

Заменяя в системе уравнений (27.78) частные производные по а и соответственно разностями в этих направлениях, эту систему уравнений можно представить в следующем виде:

с начальным условием для

Используя алгоритм Треанора [150], который был подробно рассмотрен в для случая распространения волн в стержне, проинтегрируем систему уравнений (27.85).

Примем, что функция аппроксимирована в интервале в произвольной точке области так же, как раньше, формулой (15.81). Для определения вектора на плоскости используется формула (15.89). Изменяя шаг интегрирования по времени предположим, что относительная ошибка при определении решения в точке области (рис. 92) на плоскости равна

Примем затем, что ошибка при определении решения на плоскости в целой области равна

Подобно тому, как это было сделано в (см. формулу (15.93)), можно задать изменение шага интегрирования по времени в зависимости от отношения

Предположим, что нагрузка на границе полупространства монотонно возрастает от нуля до постоянного значения за время

порядка Такое изменение нагрузки во времени можно рассматривать как приближение к скачкообразной нагрузке. Одновременно исключается случай волн сильного разрыва, поскольку принятая модель среды (27.51) не допускает возникновения волн сильного разрыва при непрерывных краевых условиях.

Рассмотрим несколько интересных результатов числовых расчетов [165] в предположении, что функция определена формулой (27.58) и при выборе следующих числовых значений для физических постоянных (для алюминия):

Примем краевые условия типа (27.72), предполагая нагрузку полупространства в виде

здесь приняты следующие числовые значения:

На рис. 93 на плоскости для показано распространение пластического фронта во времени для значения и для глубины расположения полости в полупространстве, равной окрестности цилиндрической полости ясно видна область наименьшей интенсивности напряжений. Для времени в полупространстве начинает исчезать влияние цилиндрической полости.

На рис. 94, а, б последовательно представлены распределения напряжений и 5 на границе цилиндрической полости для рассматриваемого случая. Величины представляют собой безразмерные контравариантные составляющие в естественном базисе тензора напряжений. Графики приведены для времен Изменения обеих составляющих напряжения на контуре и во времени подобны. Видно, что эти напряжения достигают максимальных значений в боковых точках цилиндрической полости и убывают в направлении оси меняя знак на положительный в окрестности оси

На рис. 94, в для этого случая представлены графики интенсивности напряжений на контуре цилиндрической полости для

Рис. 93. (см. скан)

разных времен от до Эти графики указывают, в каких местах контура полости возникает концентрация напряжений в случае, когда полость свободна от нормальных напряжений, согласно краевым условиям (27.72).

Задавая десятикратное увеличение напряжения на границе полупространства, т. е. полагая получим на плоскости

(кликните для просмотра скана)

картину распространяющихся фронтов пластических волн, показанную на рис. 95. В окрестности цилиндрической полости отчетливей, чем в предыдущем случае, видны области с меньшей интенсивностью напряжений.

Рис. 95. (см. скан)

Для времени можно заметить, что на контуре полости пропадают деформации (см. кривые для ). В окрестности цилиндрической полости получены формы распределения напряжений во времени, подобные случаю нагрузки (см. рис. 94,а,б). Распределение интенсивности напряжений на контуре цилиндрической полости также имеет форму, подобную показанной на рис. 94, в.