Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
27. Распространение плоских двумерных волн напряженийБольшинство решений задач, связанных с распространением волн напряжений в неупругих средах, основывается на предположении о симметрии тел и симметрии краевых условий, например сферической или цилиндрической симметрии (см. гл. IV), или же на предположении, что поверхностные силы распределены на границе равномерно, изменяясь только во времени (см. задачи, представленные в предыдущих пунктах настоящей главы). В действительности, однако, равномерное распределение напряжений на границе среды реализуется редко. Обычно при взрыве, произведенном на границе среды, возникает концентрация давления на малой площади, за которой давление убывает. Решение задач такого типа сложно, и в литературе существует очень мало работ, посвященных этим важным с точки зрения практики задачам. Помимо теоретических исследований они требуют очень сложных и трудоемких числовых расчетов. Достаточно хорошо разработана лишь теория двумерных волн напряжений в упруго/вязкопластических средах [5, 7—9, 163, 165, 192, 217]. Этот пункт посвящен главным образом двумерным волнам в таких средах. Рассмотрим плоскую деформацию сжимаемой упруго/вязкопластической среды. Предположим, что среда изотропна и однородна. Будем пренебрегать внешними массовыми силами, ограничимся случаем малых деформаций среды. Выберем систему ортогональных декартовых координат
Составляющие тензора деформации в рассматриваемом случае имеют вид
Обозначая составляющие вектора скорости через
Напряженное состояние удовлетворяет условию
Уравнения движения имеют вид
Определяющие уравнения, описывающие динамическое поведение упруго/вязко-идеально пластической среды, примем в виде (3.20). Эти уравнения для деформированного (27.3) и напряженного (27.4) состояний имеют следующий вид:
где
Рассуждения этого пункта легко обобщить на случай определяющих уравнений, учитывающих влияние упрочнения материала, если принять функцию
а также на случай динамических деформаций упруго/вязкоидеально пластических грунтов, описываемых уравнениями
Введем, следуя Клифтону [20], следующие безразмерные величины для скоростей
где чертой над соответствующими символами обозначены размерные величины,
b - характерная величина рассматриваемой задачи. Введем, кроме. того, безразмерные, напряжения
Заменяя первые два уравнения (27.6) их суммой и разностью, используя, кроме того, соотношения (27.3), принимая обозначения (27.10) и (27.12), получим следующую систему четырех определяющих уравнений:
где
С учетом (27.10) и (27.12) уравнения движения (27.5) примут вид
Система уравнений (27.13), (27.14) составляет полную систему уравнений задачи, которую можно представить в матричной форме:
где векторы
а матрицы
где
Матрицы При упрощающем предположении Саузвелла и Аллена, принятом в работе [7], получается более простой вид векторов (27.17) и матриц (27.17). Предположение Саузвелла и Аллена основывается на том, что упругая и вязкопластическая части скорости деформации Представляя тензор скоростей полных деформаций как сумму упругой и пластической частей:
где
и приравнивая отдельно обе части скорости деформации нулю, получим
Отсюда в области упругих деформаций имеем
где
Таким образом, составляющая тензора напряжений в случае несжимаемой среды. Тогда
Система уравнений (27.15) есть система шести почти линейных уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа с тремя независимыми переменными Перейдем теперь к исследованию характеристических свойств системы уравнений рассматриваемой задачи. В первую очередь займемся анализом геометрии характеристических поверхностей, связанных с уравнениями (27.15). Условие, при котором поверхность равенство нулю определителя характеристической матрицы А:
где
Уравнение (27.23) эквивалентно уравнению
Из (27.25) можно вывести ряд следствий. Ясно, что
есть волновое уравнение поверхности, распространяющейся со скоростью продольных волн
есть волновое уравнение поверхности, распространяющейся со скоростью Проходящие через точку
где Вводя сферические координаты, эти уравнения характеристических конусов можно представить в параметрической форме:
где параметр а есть угол в плоскости Соотношения (27.27) суть искомые уравнения бихарактеристик; они являются образующими характеристических конусов (рис. 84). Характеристическая полоса связана с бихарактеристиками (27.27), проходящими через точку
Если
где А — характеристическая матрица, определяемая формулой (27.24).
Рис. 84. Вектор 1, связанный с характеристической полосой, определяемой формулами (27.27) и (27.28), имеет следующий вид:
Если
где точка означает внутреннее произведение. В это уравнение не входит производная по направлению нормали к поверхности функции
где
где
Пространственные производные в (27.34) отвечают производным в направлении, касательном к характеристическому конусу. В работе [20] представлено решение уравнения (27.15) при независимых переменных) принципиально отличается от метода сеток характеристик, описанного в предыдущих главах. Этот метод в случае двух переменных основан на сведении системы дифференциальных уравнений с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль выбранных характеристических кривых. Затем полные дифференциалы вдоль характеристик заменяются их конечными разностями. Метод сеток характеристик нельзя непосредственно перенести на случай большего, чем два, числа переменных, т. е. на пространственные задачи. Причиной этого является тот факт, что дифференциальные уравнения вдоль бихарактеристик содержат дифференцирование в больше чем одном направлении. В выражения (27.34) для В работах [7, 8, 20] рассмотрены исключительно задачи распространения волн слабого разрыва. Предполагалось, что нагружение границы полупространства, увеличиваясь монотонно во времени от нуля до некоторого определенного значения, затем монотонно убывает. На плоскости На точность метода влияет величина выбранного шага интегрирования. Клифтон [20] на примере упругих волн показал, сколь значительно влияние на погрешность решения имеет выбор шага интегрирования. Если шаг интегрирования выбрать так, чтобы выполнялось условие устойчивости решения, ошибка растет линейно. В случае нарушения этого условия ошибка растет чрезвычайно быстро. Для случая системы почти линейных уравнений вопросы сходимости решения и вопросы устойчивости метода не исследовались. Представляется более целесообразным решать системы уравнений (27.13), (27.14) непосредственно, например методом конечных элементов [195] либо методом конечных разностей по неявной схеме. Тогда решение системы разностных уравнений будет устойчивым независимо от выбранного шага интегрирования. Этот способ решения позволяет избежать многочисленных преобразований в соотношениях (27.34) и многих численных осложнений, особенно в случае сложных краевых условий. Анализом распространения волн слабого разрыва в упругопластическом полупространстве занимался М. И. Эстрин [29]. Он дал представление для скорости волн в упругопластической среде и описал две кривые, отвечающие двум типам волн. Характерной чертой этих кривых является то, что они зависят от направления распространения возмущений и от направления
Рис. 85. На рис. 85 на плоскости В упруго/вязкопластической среде скоростям продольных волн и волн сдвига отвечают окружности соответственно радиусов Следует также обратить внимание на интересную работу Сауервайна [116], в которой исследуется скорость распространения волн в анизотропной упругопластической среде, описываемой уравнениями динамики грунтов С. С. Григоряна. Путем широкого использования техники числовых расчетов в [116] исследовано влияние неоднородности среды на скорость распространения волн расширения и волн сдвига в зависимости от анизотропии среды. Рассмотрим теперь решение задачи о распространении волн в упруго/вязкопластическом полупространстве, содержащем цилиндрическую полость, для переменной во времени и в пространстве нагрузки на границе в предположении плоского деформированного состояния и малых деформаций среды. Введя систему биполярных координат [179, 186, 189], решим задачу о распространении волн, интегрируя уравнения задачи по времени и используя метод Треанора [150] с переменным шагом интегрирования.
Рис. 86. Исследуем движение упруго/вязкопластической среды, заполняющей полупространство
Предполагается, что это напряжение является непрерывной функцией времени, возрастающей от нуля в момент Внутри полупространства В случае плоского деформированного состояния отсутствуют составляющие тензора деформаций:
и составляющие тензора напряжений:
В плоскости
В системе биполярных координат Введем обозначения
где
и обратные соотношения
Кривые проходящих через центры Полуплоскость
Рис. 87. Если дополнительно принять, что нагружение границы полупространства симметрично относительно оси Так как динамические уравнения задачи будут записаны в системе биполярных координат, введем сначала метрику пространства. На основании (5.7) метрический тензор в биполярных координатах
и следующие составляющие обратной матрицы:
Определитель
Определим теперь символы Кристоффеля второго рода. Выразим их через координаты метрического тензора
Рис. 88. В случае ортогональных криволинейных координат символы Кристоффеля определим на основании формул (5.11), причем биполярные координаты
Остальные символы Кристоффеля второго рода равны нулю. Отметим, что в биполярных координатах A. Полупространство, нагруженное по границе переменными нагрузками. Полагая В предельном случае можно решить динамическую задачу Ламба, задавая на границе полупространства
где Б. Взрыв внутри цилиндрической полости в полупространстве. На границе
В биполярных координатах удобно исследовать задачу о распространении цилиндрических волн и дифракции их на границе полупространства B. Дифракция цилиндрических волн на границе цилиндрической полости, расположенной в неограниченном пространстве. Пусть внутри пространства находятся две цилиндрические полости с разными радиусами, равными Введем систему биполярных координат В пространстве (кликните для просмотра скана) координатах Г. Цилиндр с эксцентричным отверстием, подвергнутый радиальной или касательной динамической нагрузке. Пусть цилиндр, поперечное сечение которого ограничено двумя эксцентричными окружностями (рис. 91), подвергается действию равномерно распределенного по внутренней поверхности нормального давления
Рис. 91. Одновременно можно задать касательные напряжения Определим на плоскости В биполярных координатах задача сводится к определению решения в прямоугольнике Введем теперь несколько иную систему биполярных координат задачу применительно к полупространству, ослабленному сферической полостью. Пусть в полупространстве Введем систему биполярных координат
и
Соотношения, обратные к (27.47), имеют вид
Метрический тензор
Так как мы имеем дело с системой ортогональных координат, то символы Кристоффеля второго рода определяются на основании формул (5.11). Тогда
Так же, как и в случае цилиндрической полости в упруго/вязкопластическом полупространстве, можно сформулировать ряд других краевых задач, которые можно описать в системе биполярных координат 1) дифракция плоских волн на поверхности сферы; 2) дифракция сферических волн на другой сферической поверхности; 3) распространение волн в сфере с эксцентричной сферической полостью, вызванных динамическим нагружением внешней или внутренней поверхности. Вернемся теперь к решению задачи динамики упруго/вязкопластического полупространства
где
В биполярных координатах
а тензор деформации имеет ненулевые составляющие:
Определим контравариантные составляющие тензора скоростей деформаций
На основании формулы (3.16) составляющие тензора скоростей деформаций
Определяющие уравнения (27.51) (с учетом ненулевых значений тензора скоростей деформаций (27.55) и ненулевых составляющих тензора напряжений (27.52), а также выражений (27.42)) сводятся к виду
где
Для простоты ограничимся упруго/вязко-идеально пластической средой. Примем, что функция
Выведем уравнения движения среды в биполярных координатах
Контравариантные составляющие вектора ускорения а, входящие в уравнения движения (27.59), определим на основании (5.16), учитывая значения символов Кристоффеля (27.30). Тогда получим
Окончательно получим систему шести уравнений — уравнения (27.55) и (27.60) с учетом (27.56) и (27.59). Это система шести дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка относительно шести искомых величин: четырех составляющих тензора напряжений Эту систему уравнений решим при нулевых начальных условиях при
и следующих краевых условиях: 1. На границе
где На границе
2. На границе
На границе
Введем теперь следующие безразмерные величины:
где
Система уравнений задачи — определяющие уравнения (27.56), уравнения движения (27.59) с учетом (27.55) и (27.60) в безразмерных величинах (27.66) — после алгебраических преобразований может быть представлена в следующей форме:
где
и
Начальные условия (27.61) имеют вид
Краевые условия (27.62) — (27.65) выражаются в следующем виде:
Составляющие тензора деформаций
На основании (3.19) получаем контравариантные составляющие тензора деформаций
Физические составляющие тензора напряжений тензора деформаций
Обозначим физические составляющие тензора напряжений и физические составляющие вектора скорости в безразмерных координатах (27.66) волной сверху. Тогда
Систему уравнений задачи (27.56) и (27.59) с учетом выражений (27.55) и (27.60) можно представить в компактной матричной записи:
где (см. скан) где
Элементы матриц А, В, С и вектора Ввиду нелинейности задачи решение граничной задачи будем искать численным путем. Систему уравнений (27.78) можно решать методом конечных разностей вдоль бихарактеристик. Решим, однако, сформулированную выше краевую задачу методом непосредственного интегрирования уравнений задачи (27.78) [192, 163]. Для интегрирования уравнений по времени используем метод Треанора [150], обобщив его на случай системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим в трехмерном пространстве Для определения численного решения системы уравнений (27.79) найдем такой разностный оператор Для упрощения числовых расчетов предположим, что нагрузка на границе полупространства Область значениями шагов В узловых точках сетки определим геометрию задачи, т. е. определим в этих точках составляющие метрического тензора Предположим, что на
Рис. 92. Матрицы В Во внутренних точках области
В точках, лежащих на границе области соответственно разностями вперед и назад:
Составляющие вектора
Кроме того, ввиду того что следующие составляющие вектора
и
В точке О, которая является особой точкой на плоскости
Заменяя в системе уравнений (27.78) частные производные по а и
с начальным условием для Используя алгоритм Треанора [150], который был подробно рассмотрен в Примем, что функция
Примем затем, что ошибка при определении решения на плоскости
Подобно тому, как это было сделано в Предположим, что нагрузка на границе полупространства монотонно возрастает от нуля до постоянного значения за время порядка Рассмотрим несколько интересных результатов числовых расчетов [165] в предположении, что функция
Примем краевые условия типа (27.72), предполагая нагрузку полупространства
здесь приняты следующие числовые значения:
На рис. 93 на плоскости На рис. 94, а, б последовательно представлены распределения напряжений На рис. 94, в для этого случая представлены графики интенсивности напряжений на контуре цилиндрической полости для Рис. 93. (см. скан) разных времен от Задавая десятикратное увеличение напряжения на границе полупространства, т. е. полагая (кликните для просмотра скана)
Рис. 95. (см. скан) Для времени
|
1 |
Оглавление
|