15. Распространение плоских продольных волн в упруго/вязкопластической среде

Вопросам распространения продольных плоских волн напряжений в упруго/вязкопластической среде было посвящено много работ, среди них [54, 63, 65, 77, 91, 124, 140, 221]. Эти работы были начаты уже в 1948 г., но их расцвет приходится на 60-е годы. Рассмотрено много задач, связанных с распространением волн в однородных и неоднородных средах, задач об отражении волн от недеформирующихся и деформирующихся преград, о распространении волн в стержнях с переменным сечением и

Определяющие уравнения для упруго/вязкопластических сред (3.5) при одноосном напряженном состоянии имеют вид [см. (3.12)]

где - статическая характеристика материала при одноосном растяжении,

Уравнение упругой разгрузки имеет вид

где - соответственно значения напряжений и деформаций на волне разгрузки, модуль упругости.

Уравнения движения (10.1) и уравнение (10.4):

вместе с определяющими уравнениями (15.1) или (15.2) образуют замкнутую систему уравнений задачи. Эта система имеет следующие характеристики:

где

Вдоль характеристик имеют место соотношения

В областях упругих деформаций и областях разгрузки в (15.5) надо положить Необходимо обратить внимание на тот факт, что как в зоне упругих деформаций и в областях разгрузки, так и в областях вязкопластических деформаций возмущения распространяются с одинаковыми скоростями, постоянными в случае однородной среды.

В случае распространения в полубесконечном стержне плоских волн напряжений, отвечающих краевому условию

решение в координатной плоскости будет иметь следующий вид (рис. 53). При краевом условии (15.6) в стержне будет распространяться волна сильного разрыва, которая совпадает с характеристикой На фронте этой волны должны быть выполнены условия динамической (7.18) и кинематической (7.27) непрерывности, которые в случае плоских волн имеют вид

При нулевых начальных условиях волна распространяется в невозмущенной среде; следовательно, перед фронтом волны и условия (15.7) приводятся к виду

Решение на фронте волны строится при помощи зависимости вдоль положительной характеристики и условия (15.8); тогда

Это равенство можно свести к интегральному уравнению

где использовано краевое условие (15.6):

Рис. 53.

Если задать функцию в виде (3.22), то подынтегральная функция имеет следующий вид:

Легко показать, что подынтегральная функция в (15.10), представленная в виде (15.12), ограничена и удовлетворяет условию Липшица; отсюда вытекает сходимость последовательных приближений. Проводя оценку, получим

где через обозначена верхняя грань подынтегральной функции (15.12), через значение производной для

параметров, определяющих верхнюю грань подынтегральной функции; равно наименьшему из двух чисел:

координата, при которой напряжение на фронте волны сильного разрыва достигает статического предела текучести

рис. 54

Область (рис. 53) определена как область вязкопластических деформаций. В общем случае ввиду того, что уравнения задачи почти линейные, их нельзя решить в замкнутой форме. Решение в области строится численно, методом сеток, образованных характеристиками (рис. 54).

На основании соотношений (15.5) рекуррентные формулы для определения дискретных значений параметров решений на сетке характеристик примут следующий вид:

Это система уравнений относительно трех искомых функций которая однозначным образом определяет решение в

области при заданном краевом условии (15.6) и условиях на характеристике напряжение определяется из (15.10), скорость и деформация

Кривая (рис. 53), ограничивающая область определения написанных выше уравнений, является волной разгрузки, она определяется из условия

Кривая определяется численно; при этом в области разгрузки используются соотношения на характеристиках (15.5) при

В работе [77] решена задача о распространении плоских волн в стержне конечной длины; исследовано отражение волн от жестко закрепленного конца стержня, от упруго заделанного конца и распространение волн в слоистой среде с недеформирующейся массой на границе сред. Функция в определяющем уравнении принята в виде (см. (3.13))

При конкретных числовых данных для стержня из мягкой стали решено несколько числовых примеров. Приняты следующие значения постоянных материала: модуля упругости модуля упрочнения Давление на конце стержня было задано в виде .

Для этих числовых данных на рис. 55 представлено изменение напряжения на фронте волны На рис. 56 дано изменение деформаций на конце стержня для случаев: (а) упрочнения материала отсутствия упрочнения. Различие в остаточных деформациях для обоих случаев достигает 9%. Это различие растет заметно с уменьшением градиента давления - кривые (в) и (г) отвечают решениям с вдвое меньшим градиентом падения давления.

На рис. 57 приведено распределение напряжений при отражении волн напряжений в сечении см для разных вариантов опор:

(а) отражение волны напряжения сильного разрыва от жесткой опоры;

(б) для слоистой среды, где для слоистой среды, где ;

(г) для стержня, в котором на расстоянии см помещена недеформирующаяся масса приведен график напряжений перед массой;

(кликните для просмотра скана)

для деформирующейся опоры: постоянная пружины где А — поперечное сечение стержня, I — его длина.

На основе приведенных выше примеров можно утверждать, что при рассмотрении динамических задач для малых скоростей деформаций нельзя пренебрегать эффектом упрочнения материала. Этот эффект уменьшается для больших скоростей деформаций.

Рис. 57.

Определяющие уравнения упруго/вязкопластических сред (3.5) для одноосного деформированного состояния имеют следующий вид:

где

Система уравнений (15.17) вместе с уравнениями (15.3) является замкнутой системой уравнений, характеристики которой суть прямые

где

Соотношения вдоль характеристик на основании (9.17) имеют вид

При одноосном деформированном состоянии задача о распространении волн решается аналогично задаче для одноосного напряженного состояния.

Рассмотрим теперь некоторые замкнутые решения задачи о распространении и отражении волн напряжений в упруго/вязкопластической среде [54] для модели Соколовского (3.10).

Определяющие уравнения (3.28) можно написать в ином виде, а именно

где коэффициент вязкости,

Учитывая второе соотношение (15.3) и полагая, что есть линейная функция своего аргумента, получим

Полные значения параметров задачи можно представить в виде следующих сумм:

где индекс с соответствует полным значениям параметров задачи, — значениям на пределе текучести, значениям выше этого состояния.

Согласно (15.22), уравнения задачи в области вязкопластических деформаций при линейной функции имеют вид

отсюда

для скорости получим уравнение аналогичного вида

где индекс опущен.

Применяя к уравнению (15.24) одностороннее преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим

где параметр преобразования.

Общее решение уравнения (15.25) имеет вид

В случае распространения волн в полубесконечном стержне из условия затухания напряжений при получим Постоянная А определяется из краевого условия при

Краевое условие (15.6) (рис. 58) с учетом первого соотношения (15.22) примет вид

Преобразуя условие (15.27), из (15.26) при получим

Рис. 58.

После обратного преобразования, используя при этом теорему о свертке, получим решение уравнения (15.24) для определенных выше граничных условий:

где — функция Бесселя первого рода первого порядка.

Интегрируя определяющее уравнение (15.20) с учетом первого соотношения (15.22) и того, что деформации в

области вязкопластических деформаций можно получить в виде

Скорость так же как напряжение, определяется путем решения уравнения (15.24). Для аналогичных граничных условий получим

где функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

На волне сильного разрыва (рис. 58) на основании (15.22), (15.29) — (15.31) параметры решения задачи будут иметь вид

На произвольной положительной характеристике в области вязкопластических деформаций напряжение определяется формулой

В случае кинематического ограничения при краевом условии для

где заданная функция, решение в области вязкопластических деформаций имеет вид [54]

На волне сильного разрыва в этом случае получим

На положительной характеристике напряжение определяется формулой

Анализируя формулы (15.33) и (15.37), можно заметить, что изменение напряжений вдоль характеристик зависит прежде всего от коэффициента вязкости

В случае краевого условия (15.6) напряжение вдоль положительных характеристик будет убывающей функцией Отсюда можно сделать заключение, что скорость волны упругой разгрузки для монотонно убывающего давления на конце меньше а. Этот факт был установлен в работе [64].

Начальную скорость волны разгрузки можно определить следующим образом. Продифференцируем напряжение вдоль

характеристики и вдоль волны разгрузки

Здесь — начальное напряжение вдоль характеристики Это напряжение определяется из (15.33):

где опущен член, содержащий множитель который является малой величиной низшего порядка (для металлов коэффициент вязкости порядка Из уравнений (15.38) и (15.39) при получим

где

Так как принимает большие значения и в рассматриваемых процессах время очень мало, то Таким образом, характеристику с уравнением можно практически трактовать как волну разгрузки.

Определение решения в области упругих деформаций не представляет большого труда. В случае внезапного нагружения (краевое условие имеем в области решение в виде (волна Римана)

где скорость на конце для времени В случае кинематического ограничения (условие имеем

Перейдем теперь к задаче об отражении плоских волн от закрепленного конца стержня (рис. 59), на конце которого задано давление согласно условию (15.6). Решение этой задачи следует разделить на два этапа: отражение волн

напряжений, вызванных постоянным давлением а затем отражение волн, вызванных избытком давления

Решение в области координатной плоскости аналогично рассмотренному выше случаю распространения волн в полубесконечном стержне.

Волна падающая на закрепленный конец подвергается отражению. На фронте отраженной волны должны быть выполнены условия: на отрицательной характеристике и условие динамической непрерывности

Рис. 59.

Решая эту систему уравнений, получим

Реакцию на конце стержня обозначим через

считая временно, что она известна. Используя затем решение задачи о распространении волн в полубесконечном стержне

(15.29), находим

Скорость определяется из уравнения (15.21):

путем интегрирования:

где постоянная интегрирования определена на характеристике при помощи соотношения (15.32) 3.

Из уравнений (15.46) и (15.48), используя условие на закрепленном конце стержня

получаем интегральное уравнение типа Вольтерра второго рода для определения реакции

В общем случае уравнение (15.50) следует решать методом последовательных приближений. Для больших значений можно

пренебречь членом, содержащим множитель тогда равенство (15.50) сведется к виду

Применяя к уравнению (15.51) одностороннее преобразова ние Лапласа, получим

После обратного преобразования найдем

Подставляя (15.53) в формулы (15.46), (15.48), получим решение для напряжения и скорости в области II.

Остается найти решение для избытка давления над уровнем Аналогично (15.26) определяется

Благодаря краевому условию из соотношения (15.23) получим

отсюда

или

После обратного преобразования находим

Окончательно полные напряжения в области выражаются в виде

Скорость определяется аналогично тому, как и из уравнения (15.47), записанного для вязкопластической части.

Чтобы устранить на конце в области III часть пластических напряжений (вызванных приращением реакции переносимых к свободному концу стержня на отраженных волнах и выражаемых формулой (15.46) (при необходимо к концу приложить напряжение

при

В области III получим

Аналогичным образом получается решение для

Полные напряжения в области III представляют собой сумму

Решения в следующих областях координатной плоскости строятся так же, как в области III; при этом используются условия на концах стержня. Представленные выше решения найдены в предположении, что абсолютные значения напряжений в этих областях превышают предел текучести.

Если давление на конце стержня будет монотонно убывать, плавно переходя через состояние то в общем случае волна разгрузки не будет совпадать с характеристикой. Эта задача ввиду ее сложности (влияние отраженных волн) полностью не решена. Она значительно упрощается, если давление на конце исчезает внезапно. В этом случае волна упругой разгрузки совпадает с характеристикой. Такой случай рассмотрен в работе [29].

При помощи приведенного выше метода решения задачи об отражении волн в ограниченном стержне в работе [55] решена задача о так называемом пластическом резонансе для упруго/вязкопластической среды без упрочнения (для модели среды Соколовского).

Рассмотрим теперь задачу о распространении волн в произвольном неоднородном стержне со слабо изменяющимся поперечным сечением в случае модели Соколовского, которая была решена в работе [140].

Определяющее уравнение (15.20) в случае зависимости модуля упругости, плотности среды, коэффициента вязкости и предела текучести материала от переменной х имеет вид

Уравнение динамического равновесия элемента (10.1) для стержня со слабо изменяющимся поперечным сечением выражается в виде

Используя уравнение непрерывности массы (10.4), запишем уравнение (15.62) для малых деформаций в виде

Исключая из (15.63) и (15.64) скорость получим уравнение для напряжения а:

Это уравнение можно свести к уравнению типа Эйлера — Дарбу. Следуя работе [140], введем канонические переменные

где

В канонических переменных уравнение (15.66) записывается в виде

Это уравнение будет уравнением типа Эйлера — Дарбу, если

где произвольные постоянные параметры. При выполнении (15.68) вместо (15.67) имеем уравнение Эйлера — Дарбу

решение которого известно. В области упругих деформаций это уравнение примет вид

где

Из первого соотношения (15.68) после интегрирования получим

Для стержня с постоянным сечением соотношение очевидно, удовлетворяется тождественно. Из остальных соотношений (15.68) после их интегрирования получаются следующие два равенства:

причем должно быть выполнено условие а Постоянные интегрирования определяются, исходя из аппроксимированных механических характеристик исследуемой среды. Изменение предела текучести и плотности среды может быть произвольным. Остальные величины вычисляются по формулам (15.70), (15.71). Из-за достаточно большого количества произвольных постоянных (i = 1, 2, 3, 4), которые входят в (15.71), практически можно аппроксимировать любую неоднородность среды.

Для приведенного выше случая неоднородной среды в работе [140] решена задача о распространении вязкопластических волн слабого и сильного разрыва. В случае волн слабого разрыва возникают принципиальные трудности при определении границ областей вязкопластических деформаций, т. е. при

определении фронта пластической волны нагружения и волны разгрузки. В зависимости от характера изменения механических свойств среды и изменения поперечного сечения стержня получаются различные положения пластической волны нагружения и волны разгрузки в координатной плоскости по отношению к характеристикам уравнений задачи. Это приводит к необходимости рассматривать ряд частных случаев.

Решение задачи о распространении волн в представленной выше неоднородной среде значительно упрощается в случае нагрузок, приложенных внезапно на конце стержня. Тогда фронт пластической волны будет волной сильного разрыва 1) и совпадет с положительной характеристикой исходящей из начала системы координат. Положение волны разгрузки в этом случае также будет зависеть от неоднородности среды. Приведенный выше метод построения решения задачи о распространении волн напряжений в неоднородных упруго/вязкопластических средах, приводящий к замкнутым формулам, может быть распространен на случаи отражения волн от преграды, распространения волн в слоистых средах и т. п. Эти задачи имеют большое практическое значение.

Изложим вкратце некоторые численные методы непосредственного интегрирования системы уравнений задачи о распространении волн в упруго/вязкопластическом стержне. Рассмотрим систему уравнений (15.1) и (15.3). Численно решим эту систему при начальных условиях

где заданы, и при краевых условиях, например, вида

где задано. Введем

где число точек дискретизации вдоль стержня, шаг интегрирования в направлении оси стержня. Пусть шаг интегрирования по времени. Предположим, что аппроксимация величины аппроксимация величины

Для дискретизации производных (при численном интегрировании системы уравнений (15.1), (15.3)) существует неограниченное число возможностей (см., например, [152]).

Выберем, например, следующие две схемы дискретизации (рис. 60):

Рис. 60.

Добавим к этим уравнениям начальные условия (15.72):

и краевые условия (15.73):

Схема (15.75) с условиями (15.77) и (15.78) позволяет определить значения и в явном виде. Это — явная схема, она устойчива только тогда, когда

где Схема же (15.76) позволяет определить путем решения системы линейных уравнений. Это — неявная схема. Она всегда устойчива, каковы бы ни были [152].

На примере задачи о распространении волн в упруго/вязко-пластическом стержне рассмотрим интересный метод непосредственного приближенного интегрирования системы уравнений,

предложенный Треанором [150]. Он предназначен для решения обыкновенных дифференциальных уравнений типа когда принимает большие значения, функция же - медленно изменяющаяся функция аргумента Этот метод был обобщен в работах [151, 162, 163] на случай системы дифференциальных уравнений и на случай переменного шага интегрирования по времени.

Рассмотрим систему уравнений (15.1), (15.3) с начальными условиями (15.72) и краевыми условиями (15.73). Заменим приближенно эту систему следующей системой уравнений:

где

Положим, что аппроксимирована на отрезке времени в произвольной точке дискретизации на оси стержня следующим образом:

где играют роль начальных условий при При имеем Кроме того, на концах стержня при должны удовлетворяться краевые условия (15.73), которые принимают вид при при

Решая уравнение (15.81), получим выражение для в виде

Это решение зависит от постоянных которые будут определены на заданных плоскостях на отрезке времени Как и прежде, рассмотрим следующее разложение:

тогда получим

где решение зависит от постоянных Эти постоянные определяются на плоскостях . В плоскости обозначим тогда в плоскости получим при Затем, положив на плоскости получим на плоскости Далее имеем на плоскости Подставляя это выражение в (15.83), получим

При помощи определим последовательно постоянные и в дальнейшем выберем из них наибольшее:

Далее будем пользоваться обозначениями

Задавая аппроксимацию в виде (15.83), на основании (15.84) в плоскости получим

Затем определим а также подставляя в (15.81) последовательно пары величин

В результате из формул (15.82) получим выражения для на плоскости в виде

Следует заметить, что в случае, когда коэффициент коррекции метода равен нулю, для числовых расчетов необходимо взять выражение (15.87) в следующем виде:

В этом случае, если в уравнениях (15.89) принять получим выражения, аналогичные выражениям метода Рунге — Кутта четвертого порядка [164].

До сих пор шаг интегрирования предполагался постоянным. Предположим теперь, что ошибка, совершенная при определении решения в произвольной точке на плоскости равна

Ошибку, совершенную при определении решения для всей длины стержня на плоскости положим равной

Предполагая, что ошибка, допускаемая методом (принимая ее, например, порядка можно определить закон изменения шага интегрирования в зависимости от отношения

Закон изменения шага интегрирования по времени можно определить так же, как это указано в работе [162].

Чтобы перейти к приложению этого метода к решению волновых задач теории вязкопластичности, рассмотрим простой случай распространения пластических волн в стержне. Рассмотрим стержень конечной длины конец которого нагружен переменным во времени давлением, монотонно возрастающим за короткий промежуток времени от нуля до постоянного значения, превышающего предел текучести на растяжение. Конец стержня закреплен.

Проанализируем сначала решение на волне сильного разрыва (в случае, когда ). Воспользуемся линейной функцией Введем обозначения Тогда из (15.9) получим уравнение вдоль волны сильного разрыва:

Подчиним его начальному условию

Тогда решением уравнения (15.94) будет

Для сравнения решим уравнение (15.94) численно, методами Эйлера, Рунге-Кутта четвертого порядка и Треанора с постоянным шагом интегрирования.

Рис. 61.

Эти решения и точное решение (15.95) представлены на рис. 61 в предположении, что Значками обозначено решение методом Треанора с шагом значками решение методом Рунге — Кутта с тем же шагом значками О — решение методом Эйлера с шагом обусловленным сходимостью метода, т. е. необходимостью выполнения условия

Метод Треанора дает решение, совпадающее с точным решением на всем промежутке времени (точное решение обозначено сплошной линией). Кроме того, выбранный шаг интегрирования в этом методе значительно больше, чем в методе Эйлера.

В ряде других задач о распространении вязкопластических волн сильного разрыва на фронтах этих волн изменение напряжений задается уравнениями, подобными (15.94). Из приведенного примера видно, что метод Треанора пригоден для решення

задач на фронтах волн сильного разрыва. Ошибка вычислений, совершенная при определении параметров решения на фронте волны, переносится в область за волну, где потом накапливается.

В работе [165] в качестве примера решена задача о распространении вязкопластических волн в стержне конечной длины при краевых условиях (15.73). Эта задача решена несколькими численными методами; проводится сравнение полученных разными методами результатов.

Решение строится следующими методами: 1) методом сеток характеристик; 2) методом конечных разностей (явная схема (15.75)), удовлетворяющим условию устойчивости решения (15.79); 3) методом конечных разностей (неявная схема (15.76)), причем полученная система обыкновенных уравнений (система алгебраических уравнений, где число отрезков дискретизации, на которое был поделен участок стержня), решена релаксационным методом Гаусса — Зайделя с так называемым параметром релаксации [152]; 4) методом конечных разностей Треанора; при этом задавался поочередно постоянный и переменный шаг интегрирования по времени.

Численные решения проведены для всех четырех случаев на цифровой машине при одинаковых исходных числовых данных. Кроме того, принято одинаковое число отрезков дискретизации по оси стержня. Решение искалось в координатной плоскости для одной и той же области. Для фиксированного момента времени этими методами получены идентичные решения с точностью порядка Сравнивались также времена вычислений для каждого метода (при оптимизации каждой из программ вычислений):

1) метод характеристик ;

2) метод конечных разностей, явная схема

3) метод конечных разностей, неявная схема 52" 814;

4) метод конечных разностей Треанора 16" 386.

На этот раз оказалось, что второй и третий методы наименее эффективны. Времена вычислений для двух других методов приблизительно равны.

Вопрос о применимости рассматриваемого метода для квазистатических задач вязкопластичности обсуждался в работе [151].