23. Продольно-поперечные плоские волны в упруго/вязкопластическом изотропном пространстве

Рассмотрим движение упруго/вязкопластической среды, заполняющей полупространство (рис. 70), на поверхности которого заданы касательные и нормальные напряжения

произвольно изменяющиеся во времени. Такого типа краевые условия, а также геометрия задачи приводят к соотношениям, аналогичным зависимостям (22.3), рассматриваемым в предыдущем пункте. Уравнения динамического равновесия, а также соотношения, вытекающие из допущения о малости деформаций, имеют соответственно вид (22.4) и (22.5).

Определяющие уравнения (3.10) или (3.25) после подстановки в них (22.3) и (22.5) принимают вид

где

Уравнения (22.4) и (23.2) составляют замкнутую систему уравнений поставленной задачи. Они справедливы как в областях упругих деформаций и областях разгрузки (тогда так и в областях вязкопластических деформаций.

Вещественными характеристиками системы уравнений (22.4), (23.2) будут прямые, уравнения которых имеют вид

где

Соотношения вдоль характеристик имеют вид

Таким образом, система почти линейных дифференциальных уравнений с частными производными (22.4) и (23.2) заменена эквивалентной ей системой уравнений (23.5) вдоль характеристик (23.4). В области упругих деформаций (и разгрузки), так как система уравнений (22.4) и (23.2) распадается, и ее решение состоит из двух не взаимодействующих между собой семейств волн Римана: продольных, распространяющихся со скоростью и поперечных, распространяющихся со скоростью

В зависимости от характера изменений во времени напряжений на границе полупространства в среде могут распространяться волны слабого или сильного разрывов. Ввиду того что принята модель упруго/вязкопластической среды, не допускающая возникновения ударных волн, волны сильного разрыва могут быть вызваны только скачкообразными изменениями функций или

Рассмотрим последовательно случаи возникновения волн слабого и сильного разрывов.