3. Пластические среды, чувствительные к скорости деформации

3.1. Упруго/вязкопластическая среда

Как показали многочисленные экспериментальные исследования динамических свойств материалов, большинство материалов ведет себя неодинаково в случаях статического и динамического нагружений. Главной причиной этого, как было показано, является чувствительность материалов к скорости деформации.

Согласно [73], следует различать упруго-вязкопластические и упруго/вязкопластические среды. Упруго-вязкопластической средой назовем материал, который явно обнаруживает свойство вязкости и в упругой, и в пластической областях. Упруго/вязкопластической средой назовем материал, который обнаруживает свойство вязкости только в пластической области; до пластического состояния такая среда является упругой. Модель

упруго/вязкопластической среды значительно упрощает рассуждения, касающиеся прежде всего определения критерия пластичности. Обе эти среды подробно обсуждены в монографии Пэжины [92].

Ограничимся рассмотрением определяющих уравнений для упруго/вязкопластических сред в случае малых деформаций. Исследования таких сред были начаты в 1932 г. Гогенемзером и Прагером [39]. Их идея была продолжена затем в работах Соколовского [124] и Малверна [70], исследовавших распространение волн при одноосном напряженном состоянии. Теория Гогенемзера и Прагера для сред, чувствительных к скорости деформации, была обобщена Пэжиной [93, 94] на случай распространения волн при сложном напряженном состоянии.

Приведем определяющие уравнения, выведенные Пэжиной [93] для сред, чувствительных к скорости деформации.

Начальное условие пластичности (ввиду того, что в упругой области среда не обладает вязкими свойствами) не отличается от известных критериев пластичности в классической теории пластичности (см. п. 2).

Принимается, что функция пластичности имеет вид

где зависит от напряженного состояния и от состояния пластического деформирования (предполагается, что скорость деформации раскладывается на упругую и неупругую составляющие: причем объединяет вязкие и пластические эффекты), параметр упрочнения, определенный как

энергия пластической деформации материала. Предполагается, что поверхность нагружения, рассматриваемая в девятимерном пространстве нагружения, регулярна и выпукла.

При вышеупомянутых предположениях Пэжина [94] предложил следующие определяющие уравнения для материалов,

чувствительных к скорости деформации:

где соответственно составляющие тензора деформаций и девиатора тензора напряжений, модуль Юнга, коэффициент Пуассона, у — коэффициент вязкости материала, в общем случае нелинейная функция аргумента символ определяется следующим образом:

Функция определяется на основе результатов экспериментальных исследований по динамическим свойствам материала. Соответствующий выбор этой функции позволяет отразить влияние скорости деформации на предел текучести.

Определяющие уравнения (3.3) можно также представить в ином виде, а именно

где составляющие девиатора тензора деформаций, К — модуль объемной деформации.

Приведенные уравнения свидетельствуют о том, что скорость неупругой деформации есть функция разности напряженных состояний между действительным состоянием и состоянием, отвечающим статическому условию текучести. Эта функция определяет скорость неупругой деформации согласно закону вязкости Максвелла. Упругие же составляющие тензора деформаций от скорости деформации не зависят. В определяющих уравнениях (3.3) или (3.5) учтено также упрочнение материала. С помощью функции можно описать как изотропное, так и анизотропное упрочнение

В целях проведения более подробного анализа определяющих уравнений (3.3) или (3.5) рассмотрим только неупругую часть скорости деформации

Путем простых преобразований уравнения (3.6) получим соотношение, представляющее динамическое условие текучести для упруго/вязкопластического материала, обладающего изотропным и анизотропным упрочнением:

где - функция, обратная к функции — второй инвариант неупругого тензора скоростей деформаций,

Уравнение (3.7) определяет изменение действительной поверхности нагружения во время динамического процесса неупругого деформирования. Изменение действительной поверхности нагружения вызвано изотропным и анизотропным упрочнением материала, а также влиянием реологических эффектов, проявляющихся через влияние скорости деформации.

Частным случаем упруго/вязкопластического материала является пластический материал, чувствительный к скорости деформации и обладающий изотропным упрочнением. Предположим, что функция имеет вид

т. е. что функция зависит только от напряженного состояния. Ограничиваясь рассмотрением условия текучести Губера — Мизеса, т. е. принимая, что

где второй инвариант девиатора напряжений, из (3.5) получаем

Динамическое условие текучести примет вид

Для одноосного напряженного состояния соотношения (3.10) переходят в известные соотношения, предложенные Малверном [70]:

где деформация, а — напряжение, постоянная вязкости определена как статическая характеристика материала при простом растяжении. Характер зависимости (3.12) представлен на рис. 9, а. Для соотношение (3.12) представлено кривыми, параллельными статической кривой.

Следует заметить, что при очень высоких скоростях изменений деформаций и напряжений нелинейный член в соотношении (3.12), а именно будет пренебрежимо мал по отношению к членам Тогда среда будет вести

себя как линейно упругое тело. При малых же скоростях изменений напряжений и деформаций из (3.12) следует, что что движение среды будет определяться статической характеристикой материала.

Рис. 9.

Некоторую разновидность определяющих соотношений (3.10) для изотропного упрочнения представляют уравнения, предложенные С. Калисским [41]. Они имеют следующий вид:

Функция представляет статическое изменение интенсивности напряжения в функции интенсивности деформации для материала с упрочнением (рис. 10).

Рис. 10.

Здесь принята гипотеза, что зависимость в случае сложного напряженного состояния идентична соотношению для чистого сдвига.

Различие между соотношениями (3.10) и (3.13) состоит в определении параметра и. Определяющие соотношения (3.10) в предельном случае при приводят к теории пластического течения, как показано в [92]. Соотношения (3.13) в случае одноосного напряженного состояния переходят в соотношения Малверна (3.12). В случае когда процесс нагрузки протекает медленно, соотношения (3.13) переходят в уравнения деформационной теории.

Представление в соотношениях (3.13) аргумента функции в виде соответствующем деформационной

теории, допускает более простой математический анализ, чем в случае задания параметра по формуле (3.2). Способ определения функции фигурирующей в (3.10), (3.12) и (3.13), будет рассмотрен в

Определяющие уравнения упруго/вязкопластических сред, приведенные выше, даны в прямоугольной системе координат. Сформулируем теперь определяющие соотношения (3.3) в криволинейной системе координат в контравариантных составляющих тензора напряжений и тензора скоростей деформаций. Уравнения (3.3) примут вид

где

— тензор скоростей деформаций, определенный следующим образом:

где контравариантные составляющие вектора скорости, ковариантные производные вектора скорости, которые определены как

координаты точки в криволинейной системе координат,

— составляющие метрического тензора, символы Кристоффеля второго рода (см. п. 5).

В случае малых деформаций тензор деформаций в ортогональной криволинейной системе координат будет иметь следующий вид:

где вектор перемещения. Ковариантные составляющие тензора деформаций определим на основе соотношения

Физические составляющие тензора напряжений физические составляющие тензора деформации и физические

составляющие вектора скорости определим на основе соотношений