Глава II. ВОЛНЫ, УСЛОВИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

6. Фронты разрывов, определения

Обозначим через поверхность, разделяющую в среде объема V две области с объемами и (рис. 18). Через обозначим функцию, непрерывную в области определяющую перемещения материальных точек среды. Предполагается, что при переходе через поверхность некоторые производные функции по координатам и времени испытывают внезапные (скачкообразные) изменения. Такая поверхность называется поверхностью разрыва порядка, если все производные по до порядка включительно непрерывны и если некоторые производные по или по порядка разрывны при переходе через эту поверхность.

Когда поверхность перемещается в пространстве, то говорят, что распространяется разрыв; поверхность называется волной.

В случае разрыва порядка волна называется волной сильного разрыва; если разрыв порядка то такая волна называется обыкновенной волной. Разрыв нулевого порядка не может распространяться, так как это означало бы разрыв среды. Таким образом, если на поверхности поля тензора напряжений или скорости материальных частиц имеют разрывы, то эта поверхность является волной сильного разрыва. Если поле тензора напряжений и скорости частиц а на непрерывные функции, но какая-нибудь из их первых производных разрывна, то волна называется волной слабого разрыва или волной ускорения.

Обозначая через положение поверхности волны в системе координат х в момент времени ее положение в момент через и через длину нормали к в точке заключенную между поверхностями (рис. 18), определим скорость распространения волны следующим образом:

Обозначим через поверхность, разделяющую в среде две области, которые обозначим соответственно через 1 и 2 (рис. 19). Нормаль к этой поверхности примем направленной со стороны области 1 к области 2. Уравнение поверхности в момент времени примем в виде

Определим типы волн в следующей последовательности: волну пластической нагрузки, пластическую волну, упругую волну, волну разгрузки и ударную волну.

Рис. 18.

Рис. 19.

1. Поверхность (рис. 19), разделяющая в упругопластической или упруго/вязкопластической среде две области, такие, что материальные частицы в области 2 находятся в упругом состоянии или же в состоянии разгрузки, а в области 1 — в пластическом состоянии, и перемещающаяся в направлении от области 1 к области носит название волны пластической нагрузки. Если уравнение поверхности в момент есть то вектор скорости волны пластической нагрузки будет

2. Если в областях 1 и 2 материальные частицы находятся в пластическом состоянии, то движущаяся поверхность

разделяющая эти области, носит название пластической волны. Когда же эти области являются областями, в которых существует упругое состояние (или состояние упругой разгрузки), то поверхность носит название упругой волны.

3. Предположим, что в области 2 материальные частицы подвергаются процессам пластической нагрузки. В области 1 в материальных частицах совершается процесс разгрузки (частицы в этой области в прошлом были деформированы пластически). Если поверхность перемещается в направлении области 2, то она называется волной разгрузки. Вектор скорости волны разгрузки в точках этой поверхности есть

причем, как и прежде, вектор, нормальный к поверхности направлен от области 1 к области 2.

В случае упруго/вязкопластической среды определение волны разгрузки то же, что и в случае упругопластической среды, однако другими являются условия для определения фронта этой волны, в чем читатель убедится в следующих пунктах.

4. Особым случаем волны сильного разрыва является ударная волна. Ударную волну характеризует то, что на ее фронте возникает разрыв тензора напряжений, как и разрыв скорости (т. е. разрыв первых производных перемещения), даже в том случае, когда тензор напряжений изменяется во времени непрерывным образом в месте, от которого эта волна начинает распространяться. Другими словами, образование ударной волны не зависит от разрывности граничных условий; причиной ее возникновения являются либо механические свойства (характеристика материала), либо геометрия среды. Ударные волны в случае малых деформаций могут возникнуть в упругопластических либо в нелинейно упругих средах. Ударные волны не могут возникнуть в упруго/вязкопластических средах, определяющие уравнения которых были приведены в гл.

Часто в американской, а иногда и в польской литературе говорят о волне сильного разрыва, употребляя термин «shock wave» (ударная волна). В настоящем изложении эти понятия будут четко различаться.

Определение волн Римана будет дано в гл. III, п. 10, а определение простых волн в случае плоскодеформированного состояния будет дано в гл. V, п. 22.