23.1. Волны слабого разрыва

В этом случае суть непрерывные функции, причем Волновая картина в координатной

плоскости будет следующей. По мере возрастания напряжений в глубь полупространства в областях I и II будут распространяться две не взаимодействующие между собой системы волн Римана со скоростями

Рис. 74.

В области I распространяются продольные упругие волны Римана:

В области II на продольные упругие волны Римана накладываются поперечные волны. Решение в этой области имеет следующий вид:

где

Основные трудности при построении решения рассматриваемой задачи состоят в определении скорости распространения волны пластической нагрузки, отделяющей зону упругих деформаций (расположенную перед фронтом пластической волны) от области вязкопластических деформаций (расположенных за фронтом пластической волны). Такая задача не возникает в случае одноосного напряженного или деформированного состояния, где фронт пластической волны нагрузки, независимо от краевого условия, всегда совпадает (в однородной среде) с положительной характеристикой уравнений, определяющих данную задачу.

Найдем локальную скорость распространения пластической волны нагрузки. Продифференцируем составляющие тензора напряжений вдоль характеристики и вдоль фронта пластической волны

где

На пластической волне нагрузки должно быть выполнено условие и условие непрерывности напряжений, так как волна представляет собой волну слабого разрыва. Кроме того, так как область I является областью упругих деформаций, из определяющих уравнений или (3.25) получим — Учитывая упомянутые выше условия, из системы уравнений (23.8) получим выражение для локальной скорости пластической волны в виде

Переходя в этом выражении к пределу при получим искомую формулу для локальной скорости волны пластической нагрузки:

В предельных случаях

В частном случае, когда получим выражение для начальной скорости пластической волны. Скорость распространения пластической волны зависит только от значений напряжений и их производных по времени на ее фронте. В работе [48] доказано, что скорость с заключена в пределах

это означает, что пластическая волна лежит между характеристиками или в предельном случае совпадает с одной из них.

Форму пластической волны нагрузки следует строить одновременно с решениями в областях III и V, используя на ее фронте условия непрерывности напряжений и скоростей. За волной располагается область вязкопластических деформаций. Продольные волны сопрягаются с поперечными волнами и взаимодействуют между собой.

Решение в областях III и К и одновременное определение фронта волны проводились в [49] численным путем при помощи метода конечных разностей на сетке характеристик; с этой целью использовались соотношения на характеристиках (23.5).

Введем безразмерные величины

В областях III и IV соотношения на характеристиках (23.5) имеют вид

В области V эти соотношения имеют следующий вид:

где

Запишем эти соотношения в конечных разностях вдоль характеристик, дополненные определяющими уравнениями (3.10) или (3.25), в которые подставим условия (22.3). Это дает возможность получить рекуррентные формулы для дискретных значений параметров в точке элементарной ячейки сетки характеристик (рис. 75).

Для области III:

Рис. 75.

Для области V:

В точках, лежащих на границе областей III и V:

В точках, лежащих на границе полупространства заданы значения (краевые условия (25.1)). Остальные значения определяются формулами

Последовательность решения состоит в следующем. Исходя из данных на характеристике уравнение которой (рис. 74) (в безразмерных переменных вычисляют дискретные значения параметров вдоль характеристики На границе решение определяется по формулам (23.19), а в следующих точках — по формулам (23.17). Начиная с момента, когда в некоторой точке характеристики интенсивность напряжений уменьшится до единицы, необходимо вместо формул (23.17) брать формулы (23.16). Вычисления проводятся до того момента, когда характеристика пересечется с характеристикой

Затем нужно перейти к следующей полосе . В точках на границе параметры подсчитываются, как и прежде, по формулам (23.17). Когда интенсивность напряжений в точке характеристики достигнет значения в этой точке вычисления следует повторить по формулам (23.18); в следующих точках используются уже формулы (23.16). Так же, как и раньше, вычисления заканчиваются на характеристике . В последующих полосах расчет проводится аналогично тому, как это сделано для второй полосы. Кривая, разделяющая области III и V, является волной пластической нагрузки на которой

Если, начиная с некоторого момента, интенсивность напряжений на границе начнет уменьшаться и, например, в момент (рис. 74) достигнет значения (в случае определяющих уравнений (3.25), т. е. для материала без упрочнения), то в среде начнет распространяться волна разгрузки, уравнение которой За волной разгрузки будет следовать область разгрузки, в которой справедливы уравнения (23.16). Волна разгрузки определится вместе с решением в областях V и VII. Вдоль характеристики алгоритм вычислений не меняется. На характеристике в точке, расположенной на границе параметры можно подсчитать по формулам (23.19), полагая в них т. е. . В следующих точках

этой характеристики используются формулы (23.16) до того момента, когда интенсивность напряжений на этой характеристике достигнет значения тогда в этой точке вычисления проводятся по формулам

а в следующих точках этой характеристики — по формулам (23.17). В последующих точках повторяется алгоритм вычислений, примененный для характеристики Геометрическое место точек координатной плоскости, в которых является волной разгрузки.

В случае упрочнения материала, т. е. в случае применения определяющих уравнений (3.10) или (3.13), ход решения аналогичен изложенному выше; изменяется лишь условие, определяющее фронт волны разгрузки. Условие использованное для определения волны разгрузки в случае среды без упрочнения, следует заменить условием

в случае определяющих уравнений (3.10) или условием

в случае определяющих уравнений (3.13). Упрочнение материала приводит не к качественным, а лишь к количественным изменениям в решениях.

Из решения в области III известны параметры на характеристике Область IV есть область упругих деформаций; в ней распространяются волны Римана. Обозначая через напряжение вдоль характеристики определенное в области III, запишем решение в области IV в виде

В области VI распространяются только продольные вязкопластические волны. Решение в этой области строится при помощи формулы (23.17), причем функциях также следует принять Область VIII есть область разгрузки; в ней распространяются только продольные упругие волны. Решение в этой области получается путем применения формулы (23.16). На границе областей VI и VIII следует использовать формулы (23.20), полагая в них