17. Сферические волны в упругопластической среде с упругой разгрузкой

Предположим, что в упругопластической среде, внутри сферической полости радиуса в момент внезапно возникло давление, равномерно распределенное по поверхности полости с начальным значением это давление затем изменяется монотонно во времени. Краевое условие при имеет вид

где давление, соответствующее переходу тела в пластическое состояние.

Начальные условия примем однородными — нулевыми:

Поставленная выше задача в случае уравнений деформационной теории пластичности Надаи—Генки-Ильюшина была решена Я. Л. Лунцем [69].

Учитывая (16.2) и (16.3), определяющие уравнения деформационной теории пластичности (2.3) в случае сферической симметрии можно свести к следующему виду:

где Система уравнений (17.3) вместе с уравнением движения (16.4) представляет собой полную систему уравнений рассматриваемой задачи, которую мы решим при граничных условиях (17.1) и (17.2).

Рис. 62.

В работе [69] в целях упрощения вычислений вместо функции введена новая функция определенная как

где

График функции (рис. 62) имеет ту же форму, что и график функции (рис. 4). Необходимо, однако, в зоне разгрузки наложить ограничение так как в противном случае функция примет отрицательные значения.

Введя таким образом функцию из определяющих уравнений (17.3) определим составляющие тензора напряжений:

Исключая в уравнениях движения (16.4) составляющие тензора напряжений с помощью формул (17.5), учитывая также,

что получим следующее дифференциальное уравнение второго порядка:

Дифференциальные уравнения характеристик (см. п. 9.2) системы уравнений (17.5) и (16.4) или эквивалентного им уравнения (17.6) имеют следующий вид:

где

Ограничимся случаем, когда т. е. исключим пока возможность возникновения ударных волн. Рассмотрим сначала случай, когда давление (краевое условие -монотонно возрастающая функция времени, (рис. 63).

Рис. 63.

В невозмущенную область распространяется волна сильного разрыва, уравнение которой при этой волной располагается область упругих деформаций — область движение среды в этой области определяется уравнением

В общем случае задачу о распространении сферических волн в упругопластической среде для криволинейной функции (на участке рис. 62) следует решать численным путем. В работе [69] предполагалось, что участок прямолинейный (пунктирная линия на рис. 62); тогда

где - скорость распространения пластической волны. Для этой кусочно линейной функции в область распространяется пластическая волна со скоростью совпадающая с характеристикой, уравнение которой Таким образом, область упругих деформаций ограничена характеристиками . В этой области для уравнения (17.8) следует решать задачу Пикара с данными на характеристиках:

Решение уравнения (17.8) для этих граничных условий можно искать в виде

Подставляя это решение в граничные условия (17.10), получим

здесь радиус сферической полости принят равным единице, т. е. , и обозначено

Решая дифференциальное уравнение второго порядка при граничных условиях находим вид функции Подставляя в свою очередь эту функцию в (17.11), получим выражение для поля перемещений в области упругих деформаций I:

где

Область как уже сказано, есть область пластических деформаций. Учитывая (17.9), из (17.6) получим уравнение

движения в этой области

Это уравнение следует решать при краевом условии (17.1) при которое при помощи (17.5) и (17.9) можно преобразовать к виду

и при граничном условии на характеристике

Функцию получим из решения в области I (17.13), полагая в нем Таким образом, граничное условие (17.16) приобретает вид

Решение уравнения (17.14) при условиях (17.15) и (17.16) будем искать в виде суммы

где а функция удовлетворяет уравнению

при граничных условиях

Уравнение (17.18) будет удовлетворяться тождественно, если положить

здесь функции и определяются из граничных условий (17.19), при этом используется тот факт, откуда получается

Подставляя решение (17.20) в граничные условия (17.19) и учитывая (17.21), после некоторых преобразований для получим

где

Решение в области для поля перемещений можно теперь легко получить, подставляя выражение (17.22) в (17.20), а затем используя (17.17). Анализируя это решение, можно установить, что есть убывающая функция радиуса Вдоль пластической волны функция 0 убывает, достигая в некоторой точке с координатами (рис. 63) значения При прямолинейная пластическая волна переходит в криволинейную Точка определяется из условия

Отсюда получим следующее трансцендентное уравнение для определения значения на волне

Легко показать, что чем больше давление тем больше прямолинейный участок пластической волны.

Несмотря на аппроксимацию функции прямой линией (17.4), решения в областях координатной плоскости в замкнутой форме найти нельзя. Решения в этих областях строятся численно, при помощи метода конечных разностей; при

этом используются соотношения вдоль характеристик (см. п. 9, формула (9.17)):

причем в области III упругих деформаций а в области IV пластических деформаций Поля перемещений в областях III к IV определяются соответственно из решений уравнения движения (17.8) с граничным условием на характеристике и решения уравнения (17.14) с условием на отрицательной пластической характеристике, проведенной из точки , с одновременным удовлетворением условию непрерывности для перемещений на криволинейной пластической волне функции соответственно определяются из решений в областях I и II. Метод построения решений с помощью дифференциальных соотношений вдоль характеристик для квазилинейных уравнений второго порядка был дан в п. 9. В области V поле перемещений определяется из решения уравнения (17.14); при этом используется краевое условие (17.15) при и условие на положительной характеристике, проведенной из точки где -функция, найденная из приближенного решения в области IV. Это решение проводится аналогично тому, как это было сделано в области II.

Перейдем теперь к обсуждению процесса разгрузки. Полагая краевое условие вида (17.1), примем, что -функция, монотонно убывающая во времени, (сохраняя по-прежнему условие .

Определяющие уравнения (2.4) в процессе упругой разгрузки с учетом (16.2) и (16.3), записанные для функции будут иметь вид (см. рис. 62)

где значение на волне разгрузки.

Уравнение движения среды (16.4) при разгрузке имеет вид

где введены следующие обозначения:

В работах [69, 144] доказано, что в рассматриваемом случае волна разгрузки будет пластической волной, совпадающей с

характеристикой Решение в области упругих деформаций аналогично решению в ранее рассмотренном случае (формула (17.13)). В области II разгрузки для уравнения (17.27) следует решать задачу Гурса Если решение будет известно в произвольно малом треугольнике области разгрузки II (на рис. 64 область А), то решение уравнения (17.27) можно найти во всей области II. В области не удалось построить решение в замкнутом виде. Заметим, что в работе [69] дан приближенный способ определения поля перемещений в этой области, который мы здесь приводить не будем.

Рис. 64.

Решение уравнения (17.27) в области разгрузки можно представить в виде суммы

где функции и удовлетворяют соответственно уравнениям

Найдем граничные условия для уравнений (17.29). Предполагая, что функция определенная уравнением

является частным решением уравнения условие непрерывности перемещений на волне разгрузки для функции запишем в виде

и

где функция определена формулой (17.16). Из условия непрерывности перемещений на волне разгрузки имеем

Отсюда, используя (17.30), получим

В этом соотношении функцию определим из формулы (17.31), где исключено с помощью формулы (17.16). Тогда получим граничное условие для уравнения на характеристике

В отличие от условия краевое условие (17.1) для процесса разгрузки будет иметь вид

где

Решение в области сводится к решению уравнения (17.29) 2 с граничными условиями (17.34) и (17.35). Общее решение этого уравнения можно представить в виде

где функции класса которые определяются на основании условий (17.34), (17.35) в виде

Здесь через обозначено решение в произвольно малой области в окрестности точки на положительной характеристике 1—2 (рис. 64), уравнение которой где время в точке 1 на границе Подставляя (17.37) в выражение (17.36), получаем поле перемещений в области II В. Построение решений в остальных подобластях области II выполняется аналогично построению, описанному для подобласти

Пластическая волна исчезает в точке (рис. 64). Координаты этой точки определяются из условия

При в среде распространяются только упругие волны. Решение в области III находится путем решения в ней задачи Дарбу для уравнения (17.27); при этом

с заданными перемещениями на упругих характеристиках (положительной и отрицательной), исходящих из точки и определенных из решений в областях I и II. В области IV следует решать задачу Гурса для уравнения (17.27).

Для представленного выше случая волны разгрузки численным путем исследовано влияние упрочнения материала на распределение напряжений [144]. Предполагалось, что давление на границе сферической полости возникает внезапно и затем уменьшается линейно до нуля. Параметр упрочнения

определялся как отношение Коэффициент Пуассона был принят равным 0,25.

Для широкого диапазона изменения параметра упрочнения на основании числовых расчетов можно сделать следующие выводы:

1) максимальная деформация сдвига 0 и скачок 60 на фронте пластической волны уменьшаются с ростом упрочнения материала;

2) протяженность области пластических деформаций возрастает плавно с ростом параметра упрочнения;

3) с ростом параметра упрочнения остаточные деформации сдвига значительно уменьшаются;

4) расстояние между фронтами упругой и пластической волн уменьшается с ростом параметра упрочнения; влияние этого эффекта на поле напряжений несущественно.