24.2. Цилиндрические радиальные волны

Задача о распространении осесимметричных продольно-поперечных волн нагрузки и разгрузки в неоднородной упруго/вязкопластической среде общего вида с учетом остаточных напряжений является развитием задачи, представленной в п. 24.1, на

случай цилиндрической симметрии. Волны такого типа вызываются радиальными и касательными напряжениями, равномерно распределенными по цилиндрической поверхности с начальным радиусом

Исследуем движение неограниченной среды (физические параметры являются функциями радиуса ) упруго/вязкопластической среды с цилиндрической полостью радиуса на поверхности которой заданы произвольно меняющиеся во времени нормальные радиальные и касательные в окружном и осевом направлениях напряжения (рис. 81):

Приняты нулевые начальные условия.

Анализ основывается на определяющих уравнениях (24.1), которые в случае малых деформаций, выраженных в цилиндрических координатах, вместе с уравнениями движения и условием непрерывности составляют систему уравнений [143]:

где

Система уравнений (24.9) решалась методом сеток характеристик; дифференциальные соотношения вдоль характеристических направлений заменялись разностными уравнениями. При помощи рекуррентных формул для ячейки сетки характеристик при заданных граничных условиях определено дискретное поле напряжений, скоростей и деформаций как в упругих, так и в вязкопластических областях. Числовые расчеты проводились с помощью Решения имеют локальный характер и дают хорошие результаты в достаточно малой окрестности цилиндрической поверхности и для малых времен. Для больших значений и времени погрешность, связанная с применением метода конечных разностей вдоль характеристик, становится значительной.

Можно определить некоторый класс неоднородных сред, для которых в областях упругих деформаций можно построить решения в замкнутом виде, сведя уравнения задачи (24.9) к уравнениям типа Эйлера — Дарбу, подобно тому как это было сделано в случае плоских волн .

Во второй части работы [143] проведено обсуждение результатов, полученных численным путем. Анализировалось влияние физических параметров и неоднородности среды на распределение поля напряжений и скоростей и размеры области вязкопластических деформаций. Оказывалось, что:

1. С ростом абсолютного значения коэффициента а область вязкопластических деформаций уменьшается. Причина состоит в потере энергии при разрушении структуры и уплотнении

грунта; это вызывает необратимые объемные деформации среды.

2. С ростом коэффициента вязкости у глубина вязкопластической области увеличивается, причем время протекания активных вязкопластических деформаций при фиксированном радиусе уменьшается. Наибольшие изменения имеют место в начальной фазе возрастания коэффициента вязкости.

3. С ростом коэффициента Пуассона уменьшается глубина проникания вязкопластических волн и одновременно удлиняется время протекания процесса вязкопластических деформаций среды в окрестности цилиндрической полости.

4. Малое увеличение радиального напряжения вызывает значительное увеличение глубины проникания вязкопластических волн.

5. С ростом предела текучести область вязкопластических деформаций уменьшается и наоборот.

Получен также ряд других выводов, касающихся поля напряжений и скоростей в области вязкопластических деформаций.

Рис. 82.

На основании полученных результатов и экспериментальных данных можно установить, что определяющие уравнения (24.1) хорошо описывают физические свойства грунтов.

Задача о распространении продольно-поперечных цилиндрических радиальных волн в однородной упруго/вязкопластической среде, например в тонкостенном полубесконечном цилиндре с краевыми условиями условиями (рис. 82)

где произвольные функции времени, с математической точки зрения аналогична задаче о распространении продольно-поперечных волн в полупространстве, вызванных краевыми условиями (22.1). В этом случае отличными от нуля являются составляющие тензора напряжений и составляющие тензора деформаций Построение решения этой задачи аналогично изложенному в п. 23.