11. Плоская волна разгрузки в однородной упругопластической среде

Положим теперь, что к концу однородного упругопластического стержня приложено давление монотонно возрастающее при достигающее в момент максииального

мального значения а затем монотонно убывающее при

Предположим, что характеристика материала (рис. 29) для процесса нагрузки представляет собой прямую линию при (прямая ОА) и выпуклую кривую относительно оси а при (кривая ), процесс же разгрузки (прямая ВС) происходит упруго, т. е. напряжение и деформация связаны линейной зависимостью

где соответственно максимальные значения напряжения и деформации в процессе нагружения для определенного поперечного сечения стержня. Предположим, кроме того, что в процессе нагружения есть непрерывная функция .

Рис. 29.

В заданном сечении стержня х (рис. 30) деформация растет непрерывно во времени согласно закону, отвечающему виду кривой и кривой давления до некоторого значения меньшего, однако, максимального значения деформации на конце стержня Затем деформация в этом сечении будет изменяться по закону, отвечающему характеру изменения давления на конце стержня и зависимости (11.2). Таким образом, в координатной плоскости данному к отвечает некоторое время начало процесса разгрузки в сечении. В плоскости существует кривая, называемая волной разгрузки, уравнение которой обозначено на рис. 30 как ниже этой кривой имеет место процесс пластического нагружения, а выше нее — процесс разгрузки. Задача определения волны разгрузки впервые была поставлена X. А. Рахматулиным [103] в 1945 г.

Сформулируем задачу распространения плоской волны разгрузки в полубесконечном однородном стержне следующим образом.

Определить функции так, чтобы кривая, описываемая дифференцируемой функцией делила координатную плоскость (для ) на две области

(рис. 30), в каждой из которых функции непрерывно дифференцируемы, причем в области они непрерывны и удовлетворяют соответственно уравнениям:

в области (область, в которой материальные частицы подвергаются процессам пластического нагружения) имеют место уравнения

в области (область разгрузки) имеют место уравнения (10.1), (10.4) и (11.2), которые можно записать в виде

Рис. 30.

Форма волны разгрузки, а также функция неизвестные до решения задачи, находятся путем одновременного решения систем уравнений (11.3) и (11.4), описывающих процесс деформирования соответственно в областях нагружения и упругой разгрузки, при одновременном удовлетворении краевому условию (11.1) и условиям непрерывности скорости, напряжения и деформации на волне разгрузки.

В случае краевого условия, заданного в виде (11.1), волна разгрузки начинает распространяться от конца стержня в момент (рис. 30). Точка отвечает максимальному значению напряжения на конце стержня.

Решение в области т. е. до момента прихода волны разгрузки, аналогично случаю, рассмотренному в предыдущем

разделе и представленному на рис. 23 — области . В области распространяются волны Римана, уравнения которых имеют вид и (10.5), скорость материальных частиц в области можно представить формулой

На волне разгрузки должны быть выполнены условия

где вычисляются при помощи решения в области при

Таким образом, приходится решать систему уравнений при условиях типа Коши (11.6) на волне разгрузки и при заданных краевых условиях (11.1). Систему уравнений (11.4) можно свести к уравнению второго порядка для перемещения именно

где

Общее решение уравнения (11.7) имеет вид

а с учетом (11.8) вид

Удовлетворение условиям (11.6) и краевому условию (11.1), которое можно представить в виде

(причем однозначно определяется из графика через позволяет однозначно определить функции и

; функцию можно определить для данного из зависимости (10.2).

Рассмотрим несколько более простой случай. А именно, предположим, что давление на конце стержня приложено внезапно; его значение в начальный момент равно а затем монотонно убывает (рис. 31), т. е. краевое условие (11.1) в напряжениях имеет вид

или в деформациях

В этом случае волна разгрузки исходит из начала координат.

Рис. 31.

Подставляя (11.10) в краевое условие получим соотношение

Отсюда

Подставляя (11.10) в начальные условия (11.6) на волне разгрузки получаем

Подставляя в эти уравнения соотношение из (11.6), учитывая, кроме того, что и исключая

с помощью (11.13) функцию получаем

отсюда

где

Из произвольной точки оси (рис. 31) проведем положительную и отрицательную упругие характеристики до пересечения с волной разгрузки Эти характеристики пересекут волну разгрузки в точках . С помощью уравнений упругих характеристик и характеристик в области нагружения получим следующие зависимости:

где время, измеренное на конце стержня Из системы уравнений (11.16) можно исключить имея в виду соотношение (11.17). Для определения во получим функциональное уравнение в виде

Если в полубесконечном упругопластическом стержне из эксперимента известно распределение остаточных деформаций

связанных с деформациями зависимостью

то при заданной динамической диаграмме на основе уравнений (11.18) можно определить характер изменения деформаций на конце стержня.

В работе [120] решена задача о распространении волны разгрузки в случае внезапно приложенного и затем монотонно убывающего давления на конце стержня (краевое условие

Рис. 32.

Доказано существование и однозначность функции, определяющей волну разгрузки. Показано, что величина, обратная скорости волны разгрузки, заключена в пределах

и что при скорость распространения волны разгрузки асимптотически стремится к скорости распространения упругих волн.

В работе [120] получено уравнение (11.18) для частного случая полубесконечного стержня, поведение которого описывается при помощи модели Прандтля (рис. 32) и к концу которого внезапно приложено давление, убывающее затем во времени. Ввиду того что волна разгрузки может пересекаться только с волнами Римана со скоростями (упругие волны со скоростями несут деформации в рассматриваемом случае волна разгрузки может быть только прямой, уравнение которой имеет вид

В этом случае волна разгрузки является волной сильного разрыва. Можно доказать [27], что в рассматриваемом случае за волной разгрузки всегда наступает разгрузка.

В частном случае, когда давление на конце прикладывается в момент внезапно и затем линейно убывает со временем, т. е.

из формулы (11.18) при помощи (11.2) определяется деформация на волне разгрузки

где (для стали для сухих песчаных грунтов .

Из формулы (11.23) следует, что есть убывающая функция следовательно, в некотором сечении она уменьшится до значения Точка (рис. 33) обозначает конец волны разгрузки.

Рис. 33

Таким образом, длину участка стержня деформированного пластически, получим из (11.23), полагая При в стержне будут распространяться только упругие волны.

Напряжение на волне разгрузки однозначно определяется соотношением вытекающим из принятой модели среды; таким образом,

Волна разгрузки представляет собой волну сильного разрыва. Чтобы определить массовую скорость частиц на фронте этой волны, следует использовать условие динамической непрерывности.

Для случая продольных волн в стержне условие динамической непрерывности (7.18) имеет вид

для прямых волн

для обратных волн

Используя формулу (11.25) на волне разгрузки получим выражение для скорости

Решение в области II строится методом характеристик с использованием соотношения (10.12), причем определяются из краевого условия (11.22) и при помощи значений а и на волне разгрузки (формулы (11.24) и Решение в области II после определения постоянных будет иметь вид,

где приняты обозначения

напряжения определяются на волне разгрузки формулой (11.24).

В области III решение получим непосредственно из (11.28), полагая

В областях IV, VI, VIII (рис. 33) решение можно определить при помощи формул (11.28), а в областях III, V, VII, IX — при помощи формул (11.29).

Рассмотрим теперь способ определения волны разгрузки методом последовательных приближений [15]. Определим волну разгрузки для случая, рассмотренного ранее; зададимся краевым условием (11.1) (нагрузка приложена к концу стержня внезапно, а затем монотонно убывает) и соотношением а рис. 29). Вернемся к решению уравнения (11.7) в области при краевом условии и условиях на волне разгрузки в виде (11.6); рассмотрим, следовательно, систему уравнений (11.16).

Введя обозначение представим (11.16) в виде

Из уравнений (11.30) получаем

Ограничиваясь рассмотрением случаев, когда т. е. ограничиваясь решениями для материалов, для которых мало (материалов, не проявляющих значительных эффектов упрочнения), приведем уравнение (11.31) к виду

где Решая (11.32), находим одновременно и уравнение волны разгрузки в нулевом приближении.

Затем волна разгрузки определяется методом последовательных приближений. А именно, подставив в правую часть первого уравнения (11.16) нулевое приближение определенное из (11.32):

где

сделав в (11.33) замену переменных

получим

Согласно принятому предположению т. е. что а мало и принимая или можно приравнять левые части уравнений (11.34); в итоге получим

Из этого уравнения определяется первое приближение Рекуррентная формула для определения приближения имеет вид

Сходимость этого метода исследовалась для конкретных примеров. В случае модели Прандтля при краевом условии (11.22) рекуррентная формула (11.36) для дает хорошее совпадение с точным решением (11.24) уже в третьем приближении [15].

Задачу для волны разгрузки можно решать также обратным методом. Априори предполагается форма волны разгрузки Тогда в области можно решать задачу Коши. Примем модель среды так же, как на рис. 29, ограничиваясь случаем, когда волна разгрузки есть волна слабого разрыва.

В произвольной точке области (рис. 30) можно определить решение, проведя из этой точки положительную и отрицательную упругие характеристики до пересечения их с волной разгрузки соответственно в точках Уравнения этих характеристик имеют вид

причем использовано уравнение волны разгрузки.

Из соотношений на характеристиках (10.12) получим следующие соотношения:

из которых можно последовательно исключить напряжение а и скорость . В точке решение имеет следующий вид:

где определены соотношениями (11.37). Полагая получим решение на конце стержня, т. е. получим такое распределение напряжений на конце, которое соответствует предположенной форме волны разгрузки Предполагая поочередно различные формы волны разгрузки, можно получить методом последовательных проб такое распределение напряжений на конце, которое было бы близким к заданному.

Рассмотрим еще метод локальной линеаризации волны разгрузки. Определим волну разгрузки (при соотношении таком, как на рис. 29) методом характеристик. Рассмотрим случай изменения давления на конце стержня показанный на рис. 34, при краевом условии вида (11.1). Волна разгрузки начнет распространяться из точки соответствующей максимальному значению ртах приложенного давления Предположим (рис. 34), что за время волна разгрузки переместится в точку с абсциссой Из этой точки проведем положительную пластическую характеристику в области а в области разгрузки положительную и отрицательную упругие характеристики до пересечения с осью соответственно в точках Предположим, что давление на конце в момент имеет разрывную производную. Вводя обозначения можно положить, что в окрестности точки

Благодаря близости точек к точке для скоростей точек оси можно принять при

где максимальная скорость на конце и введена обозначение Разделив уравнения почленно, получим

где начальная скорость волны разгрузки.

Рис. 34.

Используя соотношения на характеристиках (10.12), можно определить напряжение и скорость в точках через соответствующие значения в точке Таким образом, в (11.42) можно определить скорости и итах. Получим в результате

где скорость распространения пластических деформаций для напряжения

В частном случае, когда или когда из (11.43) следует, что это означает, что направление начального отрезка волны разгрузки совпадает с направлением упругой волны. Если же или если то и начальная скорость распространения волны разгрузки совпадает со скоростью пластической волны. Когда же когда производная напряжения на конце стержня непрерывна при формулой (11.43) пользоваться нельзя. В этом случае в разложениях напряжения и скорости по времени в окрестности точки, в которой следует учесть члены, содержащие вторые степени Поступая далее так же, как и в приведенном выше случае, получим формулу для начальной скорости волны разгрузки в виде

Зададим начальный отрезок волны разгрузки в виде отрезка прямой. Угол наклона этого отрезка определяется начальной скоростью, выражаемой формулой (11.43) либо (11.44), в зависимости от того, непрерывна или разрывна производная На этом отрезке известны значения напряжений и скоростей из решения в пластической области На отрицательных упругих характеристиках в треугольнике области разгрузки имеем соотношение

где время, при котором данная отрицательная характеристика начинается на волне разгрузки

и функция

которая известна на волне из решения в области .

Используя краевое условие (11.1), из (11.45) можем определить скорость и на конце для

На положительных характеристиках в области берущих свое начало на конце для определяя постоянную

интегрирования из условия и условия (11.47), получим соотношение

В рассматриваемом случае волна разгрузки представляет собой волну слабого разрыва. На фронте этой волны должны выполняться условия непрерывности

где индексами 1 и 2 обозначены решения соответственно со стороны областей Таким образом, из (11.48) получим уравнение

из которого можно определить следующий отрезок волны разгрузки определяются из решения в области Процесс определения следующих отрезков волны разгрузки повторяется.

Кроме аналитических приближенных методов часто применяются графические методы определения волны разгрузки и распределения напряжений и деформаций вдоль волны разгрузки. Эти методы подробно представлены в монографиях [28] и [25, 108]. Они основаны на одновременном графическом построении решения в координатной плоскости и в плоскости годографа Используются уравнения характеристик (10.10) и соотношения на характеристиках (10.11). Кроме того, когда волна разгрузки есть волна слабого разрыва (в случае краевого условия (11.1)), начальная скорость волны разгрузки с определяется по формуле (11.43) или (11.44). В случае когда на конце стержня внезапно приложено давление и затем оно убывает (краевое условие (11.1)), уравнение волны разгрузки известно и эта волна есть волна сильного разрыва. На ее фронте используется условие динамической непрерывности (11.25). Определяются графически конец волны разгрузки и распределение деформаций на волне разгрузки.

В области задач о распространении плоских волн напряжения существует довольно много исследований. Отметим некоторые из этих исследований. Прежде всего укажем на работы X. А. Рахматулина [104, 105], в которых исследовано влияние изменения предела текучести на распространение волн нагружения и разгрузки. Такого рода неоднородность встречается, например, в стержнях, изготовленных из упрочняющегося материала, предварительно нагруженных пластической волной.

В работах [36, 89, 95] исследована задача о распространении волн нагружения и разгрузки в среде с произвольной неоднородностью как в упругой, так и в пластической областях. Задача сведена к интегро-дифференциальным уравнениям, которые решаются методом последовательных приближений. Рассмотрен, кроме того, ряд задач о распространении волн в стержнях с переменным поперечным сечением (например, [129]).