3.2. Упруго/вязко-идеально пластическая среда

Определяющие соотношения, описывающие упруго/вязкоидеально пластическую среду, получим в предположении, что функция не зависит от деформаций, т. е.

где третий инвариант девиатора напряжений, с — постоянная материала.

Определяющие соотношения в этом случае имеют вид

Динамическое условие текучести в случае функции вида (3.21) выражается как

Уравнения (3.22) были предложены Пэжиной [93].

Если принять, что функция имеет вид

где предел текучести при чистом сдвиге, то определяющие соотношения (3.22) примут вид

Динамическое условие текучести имеет в этом случае вид

На рис. 11 представлена зависимость от определенная формулой (3.26) для произвольной функции

В упруго/вязкопластической среде, ввиду того что есть функция скорости деформации, вязкопластические деформации

появляются в том случае, когда независимо от знака производной по времени Знак производной существен при определении состояния среды (нагрузка, разгрузка, нейтральное состояние) в деформационной теории пластичности (см. п. 2.1).

В частном случае для линейной функции именно из уравнений (3.25) следуют уравнения, предложенные Фрейденталем [31]. Предполагая, кроме того, что упругие деформации малы по сравнению с неупругими, получаем определяющие соотношения Гогенемзера и Прагера [39].

Рис. 11.

Определяющие уравнения для упруго/вязко-идеально пластической среды (3.22) в криволинейной системе координат в контравариантных составляющих будут иметь вид

где

В случае одноосного напряженного состояния уравнения (3.25) принимают вид

где предел текучести при простом растяжении. Это модель, предложенная Соколовским [124]. Характер зависимости (3.28) представлен на рис. 9, б. Для соотношение (3.28) описывает прямую, параллельную статической характеристике.

Чтобы лучше уяснить существо вышеприведенной модели, рассмотрим следующий пример [124]. Предположим, что а возрастает линейно в течение времени достигая значения а затем линейно убывает в течение времени

причем

Исключая из уравнения (3.28) время и интегрируя, получим для процесса «нагрузки»

для процесса «разгрузки»

где

Эти соотношения представлены графически на рис. 12. Линия отвечает процессу «нагрузки», линия процессу «разгрузки». Необходимо подчеркнуть, что процессами «нагрузки» и «разгрузки» управляет один и тот же закон (3.28), тем не менее имеет место необратимость процесса «нагрузка — разгрузка», что представлено на рис. 12.

Рис. 12.

Функция в определяющих уравнениях (3.10), (3.12), (3.25) и (3.28) подлежит определению из экспериментальных данных. При определении функции предполагается, что влияние упругой части деформации пренебрежимо мало по сравнению с вязкопластической частью деформации. Кроме того, принимается гипотеза, что кривая при сложном напряженном состоянии совпадает с кривой при одноосном напряженном состоянии. Справедливость этой гипотезы в частном случае сложного напряженного состояния подтверждают экспериментальные исследования Линдхолма [66, 67], проведенные на алюминиевых и стальных образцах, подверженных комбинированному одноосному растяжению и кручению.

При этом использовались тонкие цилиндрические образцы, которые внезапно нагружались одноосным растяжением и

кручением. На рис. 13 кружками обозначены экспериментальные точки, отвечающие простому растяжению, треугольниками — чистому кручению, квадратиками — точки, отвечающие вычисленным значениям интенсивностей напряжения и деформации в образцах при сложном напряженном состоянии (одноосное растяжение и кручение). Кривые в случаях простого растяжения, чистого кручения и сложного напряженного состояния совпадают.

Рис. 13.

Следует полагать, что гипотеза подобия кривой и кривой для одноосного напряженного состояния справедлива в общем случае сложного напряженного состояния.

Опираясь на экспериментальные данные для металлов, Пэжина [93] определил функцию , задавая различные ее виды, например

Для определения коэффициентов в (3.29) использовались экспериментальные результаты, полученные Кларком и Дюве [19]. Они нашли изменение предела текучести в функции скорости деформации для мягкой стали в диапазоне изменения скорости деформации в котором изменение предела текучести проявлялось значительно. Экспериментальная кривая представлена на рис. 14 сплошной линией. Пунктирными линиями обозначены аппроксимации экспериментальной кривой функциями (3.29) в случае Получены

следующие значения постоянных в случае функции для одноосного напряженного состояния

На основе гипотезы соответствия кривых вышеприведенные постоянные можно использовать для сложного напряженного состояния [92, 66].

Рис. 14.

Несколько иначе определяется функция в случае среды, описанной уравнениями (3.13). Рассмотрим сначала способ описания функции в случае одноосного напряженного состояния. Для построения полного изменения функции необходимо знать полную зависимость . В работе [46] предложен следующий способ определения функции релаксации Зная из эксперимента поверхности деформация, отвечающая пределу прочности, пределу текучести), можно определить функцию путем экстраполяции между этими поверхностями. В целях упрощения числовых расчетов обе поверхности можно аппроксимировать плоскостями. Тогда значения экстраполированной функции будут лежать на плоскостях, соединяющих отрезки

прямых для Функция имеет размерность скорости деформации. Например, в предположении линейного упрочнения материала для отрезка аппроксимации получим

где индексами обозначены значения параметров соответственно на левом и правом краях отрезка аппроксимации. Можно получить достаточно высокую точность вычислений при записи функции в вышеприведенном виде, задавая соответствующее количество аппроксимирующих плоскостей.

Чтобы определить функцию для трехмерного напряженного состояния, принимается гипотеза [46], что соотношения между интенсивностями напряжения скорости деформации и деформации идентичны соотношениям между для одноосного напряженного состояния.