25. Волны напряжений в балках

Задача о распространении поперечных и изгибных волн в упруго/вязкопластических балках разработана значительно лучше, чем для случая упругопластических балок. Из-за вязкости среды поперечные и изгибные пластические волны распространяются с теми же скоростями, что и соответствующие упругие волны. Это дает возможность значительно проще определить области распространения волн. В настоящем пункте мы ограничимся рассмотрением задач о распространении поперечных и изгибных волн в балках, материал которых проявляет реологические эффекты, используя при этом результаты работ [6, 75].

За основу примем теорию балок Тимошенко, в которой учитывается влияние поперечных сил и сил инерции вращения сечений балки на поперечные колебания.

Рассмотрим сначала консольную балку. Примем, что на ее конце действуют изгибающий момент и переменная во времени поперечная сила Для общности поперечное сечение балки примем произвольным, но постоянным вдоль ее оси. Предположим, что балка однородна. Возьмем систему декартовых координат причем ось х направим по оси балки, а оси по осям симметрии поперечного сечения. Будем считать, что изгиб балки происходит относительно оси у. В выбранной таким образом системе координат напряженное состояние изгибаемой балки определяется нормальным напряжением и касательным напряжением а деформированное состояние продольной деформацией и сдвигом

Нормальные и касательные напряжения образуют в каждом сечении балки изгибающий момент и поперечную силу Эти величины определяются следующим образом:

где А — площадь поперечного сечения балки.

Определим теперь перемещения и деформации в балке. Обозначим через и к составляющие вектора перемещения произвольной точки балки соответственно в направлении осей Для произвольной точки, лежащей в сечении х на расстоянии где высота балки) от оси балки, эти составляющие определяются следующими формулами:

где - некоторая функция, смысл которой будет вскоре выяснен. На основании (25.2) составляющие тензора

деформаций в балке имеют вид

Таким образом, означает некоторое среднее значение деформаций сдвига , отнесенное к срединной плоскости балки.

Учитывая (25.2), для угла поворота элемента, лежащего в начальный момент на нормали к оси балки, имеем

В предположении малых прогибов и малых углов поворота балки перемещение угол наклона оси балки средний угол поворота элемента а, деформация средняя деформация сдвига и угловая скорость со связаны следующими уравнениями, называемыми соотношениями сплошности:

Уравнения поступательного и вращательного движений произвольного сечения балки имеют вид

где момент инерции сечения относительно оси — плотность материала.

Для полной формулировки уравнений колебаний балки нам остается записать определяющие уравнения и краевые и начальные условия.

Рассмотрим колебания балки из упруго/вязкопластического материала. Определяющие уравнения примем в виде (3.10). Эти уравнения в рассматриваемом случае записываются в виде

здесь принято, что второй инвариант девиатора напряжений определяется как

Через обозначен коэффициент вязкости материала.

Уравнения (25.1) и (25.6) — (25.8) составляют полную систему уравнений задачи. Эта система из восьми уравнений относительно первых производных восьми неизвестных функций Если считать, что материал балки упруго/вязко-идеально пластический, т. е. положить статический предел текучести при чистом сдвиге), то получим задачу для системы из шести величин: Подставляя в определяющие уравнения (25.8) соотношения сплошности (25.5) и используя (25.9), получим

Таким образом, в случае упруго/вязко-идеально пластической балки получим систему из шести уравнений (25.1), (25.7), (25.10) относительно первых производных шести неизвестных функций

В дальнейшем мы ограничимся использованием модели упруго/вязко-идеально пластического тела. Систему уравнений (25.10) представим в ином виде, умножив обе части первого из этих уравнений на а второго — на Затем произведем интегрирование по сечению А. Используя определение получим

где 1 — как и прежде, момент инерции сечения, эффективная площадь сдвига:

Площадь сдвига отличается от полной площади поперечного сечения балки, так как действительный угол сдвига изменяется по ее высоте. В сопротивлении материалов эффективная площадь сдвига определяется при помощи числового коэффициента к:

где

где статический момент сечения балки, ее высота. В случае прямоугольной балки с высотой шириной имеем

Преобразуем теперь условие пластичности

заменив в нем напряжения изгибающим моментом и поперечной силой Условие текучести (в случае упруго/вязкоидеально пластического тела) получится в виде

где соответственно постоянные:

Второй инвариант девиатора напряжений будет иметь, очевидно, вид

Учитывая определение (25.1), запишем систему уравнений (25.11) в виде

В результате получаем систему четырех уравнений (25.7) и (25.17) относительно первых производных четырех искомых функций Нелинейную функцию входящую в уравнения (25.17), можно определить аналогично случаю одноосного растяжения на основе экспериментальных данных (см. п. 3.2).

Для процессов упругой нагрузки и разгрузки в уравнениях (25.17) следует положить

Система уравнений (25.7) и (25.17) есть система уравнений первого порядка гиперболического типа относительно функций Вещественными характеристиками этой системы являются четыре семейства прямых, уравнения которых имеют вид

где характеристические направления определяются величинами

представляющими собой соответственно скорости распространения продольных изгибных и поперечных волн.

Соотношения вдоль характеристик на основании (9.17) имеют вид

при

при

Решая систему уравнений (25.20) при заданных краевых и начальных условиях, можно изучить распространение волн напряжений в балке. В случае волн сильного разрыва систему уравнений (25.20) следует дополнить соотношениями непрерывности на фронтах разрывов. Волны сильного разрыва могут возникнуть в балке только тогда, когда внешняя нагрузка балки определяется разрывными функциями. Очевидно, на фронтах волн сильного разрыва должны выполняться условия

непрерывности нулевого порядка, т. е. условия непрерывности перемещения и угла поворота элемента балки:

Условия динамической непрерывности на волнах сильного разрыва имеют вид

Эти условия легко получить из общих условий динамической непрерывности (7.18), используя определение (25.1).

Исходя из того, что на фронте волн сильного разрыва упруго/вязкопластический материал ведет себя как упругий материал, из соотношений (25.8) можно получить выражения для скачков напряжений и деформаций на фронте волны, а именно:

Интегрируя эти соотношения по высоте балки, получим

Анализируя выражения (25.21) — (25.24), можно установить, что на фронтах волн сильного разрыва функции , а и испытывают скачкообразные изменения. Функции же х и у будут непрерывны, скачки испытывают их производные. С другой стороны, на фронтах волн сильного разрыва разрывными являются функции х и у, функции же , а и будут непрерывны, разрывны только их производные.

Рассмотрим теперь простейший случай распространения изгибных и поперечных волн в консольной балке. Положим, что нагружение конца балки поперечной силой и изгибающим моментом в начальный момент времени произошло внезапно (значения этих величин столь велики, что в начальный момент приводят балку в пластическое состояние), а затем они произвольно убывают во времени (рис. 83). Начальные условия предположим однородными, нулевыми.

При таких граничных условиях в невозмущенной балке от ее конца будет распространяться сначала волна сильного разрыва, уравнение которой на ней испытывают скачок величины и , функции же непрерывны. Ввиду того что перед фронтом волны сильного разрыва среда не возмущена, на фронте волны При этих условиях, исходя, кроме того, из условия непрерывности

(25.22), можно проинтегрировать уравнение на фронте волны сильного разрыва Тогда

Это уравнение можно привести к интегральному уравнению Вольтерра:

где

Принимая определенный вид функции например степенной, т. е. можно получить решение уравнения (25.25) в явном виде [6].

Рис. 83.

Анализируя решение на волне можно установить, что значения момента на всем пролете балки больше При они асимптотически стремятся к если в сечении в момент был приложен изгибающий момент Значение представляет собой статический момент, приводящий в пластическое состояние сечение балки при чистом изгибе.

За волной изгиба следует со скоростью более медленная поперечная волна. Это волна сильного разрыва, на фронте которой скачкообразные изменения испытывают поперечная сила и скорость частиц Вид решения на координатной плоскости представлен на рис. 83. Области I и III являются областями вязкопластических деформаций. Они ограничены соответственно «волнами разгрузки» с уравнениями Области II и IV суть области разгрузки.

Решения в областях вязкопластических деформаций строятся численно, например методом сеток характеристик, при этом используются соотношения вдоль характеристик (25.20). Записывая их в конечных разностях, получим рекуррентные формулы для определения дискретных значений параметров решения в произвольной точке элементарной ячейки сетки характеристик так, как это сделано в п. 23.

В рассматриваемом случае, несмотря на большое сходство волновой картины с таковой для задачи о распространении продольно-поперечных волн сильного разрыва в полупространстве (см. п. 23.2) существует принципиальная разница в построении решения в области пластических деформаций Казалось бы, что поскольку поперечная волна, несущая возмущение от поперечной силы, распространяется медленней, чем волна изгиба, то в области при нулевых начальных условиях поперечная сила и скорость частиц тождественно равны нулю. Однако в результате сопряжения изгибающих моментов и поперечных сил в уравнениях (25.20) это не так. Наличие в области изгибающего момента вызывает проявление также поперечной силы. С математической точки зрения предположение в области I влечет за собой отбрасывание этих величин в уравнениях (25.7) и (25.17). Последние сводятся к уравнениям параболического типа технической теории балок, в которой всякие возмущения распространяются с бесконечными скоростями.

Построение решения в остальных областях координатной плоскости и способ определения волн разгрузки не отличаются от ранее представленных в . В целях единообразия решения и применения к его вычислению в областях упругих деформаций или разгрузки используют ту же сетку характеристик, что и в областях вязкопластических деформаций, полагая при этом Это имеет большое значение главным образом в случае конечных балок, где мы имеем дело с отражением волн от концов балки и взаимным прониканием падающих и отраженных от края волн.