8. Пластические волны в трехмерной изотропной среде

Исследуем теперь движение поверхности разрыва в упругопластической изотропной среде, используя при этом условия непрерывности Адамара [37], см. п. 7.

Предположим, что среда не проявляет эффектов вязкости. В упругопластической среде в зависимости от ее состояния (упругое, пластическое) по обе стороны поверхности могут иметь место четыре типа перемещающихся относительно среды поверхностей разрыва. Это упругие волны, пластические волны, волны (фронты) пластической нагрузки и волны (фронты) разгрузки.

Следует заметить, что в случае пластической среды, проявляющей эффект вязкости, пропадает смысл определения пластических волн (вязкопластических волн). Соответствующий этим волнам разрыв заменяется в зависимости от степени вязкости среды более или менее быстрым переносом частиц. Разрыв в упруго/вязкопластической среде распространяется со скоростью упругих волн.

Рассмотрим упругопластическую изотропную среду. Соотношения, определяющие изотропное упрочнение материала, представлены формулами (2.30).

8.1. Пластические волны

Будем предполагать, что волна распространяется в пластической среде. Обозначим через две различные скорости изменения напряжений перед и за фронтом волны соответственно (рис. 19). Предположим, что перед и за фронтом волны имеет место состояние пластической нагрузки, т. е. Скачок скорости деформации и скорости изменения напряжения на волне определяется как

На основании уравнений (2.30) имеем следующие соотношения:

где

Напомним, что тензор обладает следующими свойствами:

при этом тензоры положительно определены.

Условие кинематической непрерывности (7.24) в случае, когда функция и представляет тензор напряжений принимает вид

в случае, когда и имеем

Подставляя соотношение в (8.4), используя (8.5) и соотношение и учитывая симметрию тензора относительно индексов , получим

Согласно уравнению движения (5.5) при на фронте пластической волны получаем соотношение

Учитывая (8.7), вместо (8.6) получаем

причем

Следует заметить, что соответственно суть собственное значение и собственный вектор тензора . В силу свойств тензора можно утверждать, что тензор симметричен и положительно определен.

Соотношение (8.8) позволяет сделать следующий вывод: для каждого направления существуют три скорости распространения пластических волн ускорения. Характеристические (собственные) векторы соответствующие этим скоростям, взаимно ортогональны. В случае когда направление разрыва ортогонально поверхности разрыва, такие волны назовем продольными; когда же оно касательно к этой поверхности, волны назовем поперечными.

Следуя далее [147—149], определим область значений скорости пластических волн. Представим тензор входящий в (8.8), в следующем виде:

где

Величина положительна, так как плотность потенциальной упругой энергии, соответствующей деформациям

Выберем направления главных осей матрицы А так, чтобы три ее главных значения удовлетворяли неравенствам Главные значения матрицы являются корнями уравнения для X:

где Раскрывая определитель, имеем

Так как имеем

Следовательно, существуют три вещественных корня уравнения (8.13). Отсюда можно сделать следующий вывод: для каждого направления нормали скорости пластических волн разделены соответствующими скоростями упругих волн (в крайнем случае равны им), так что

Может случиться, что некоторые из скоростей пластических волн равны одной из скоростей упругих волн. Если некоторое например а, равно нулю, то будет корнем уравнения (8.13) и тогда

Раскроем систему уравнений (8.8). Получим

Рассмотрим случай т. е. случай, когда скорость распространения пластической волны равна соответствующей скорости упругой волны Из уравнения получим

при условии, что Если из уравнений (8.16) получим и соотношение (8.17) по-прежнему удовлетворяется.

Обозначим через скорость пластической нагрузки На основании (2.30) и (2.31) скачок на пластической волне можно представить в виде

Учитывая, что и используя условие (8.5), а также соотношение имеем

На основании (8.17) находим

т. е. скачок скорости пластической нагрузки равен нулю. Иными словами, разрыв не изменяет скорости нагрузки, что объясняется тем, что он распространяется как упругая волна. Поэтому мы будем говорить, что имеем дело с «нейтральной волной». В случае упругопластической изотропной среды всегда

имеется одна нейтральная волна, поскольку два собственных значения матрицы совпадают

Пластические волны, распространяющиеся с разными скоростями называются соответственно быстрыми и медленными.

Предположим, что в некоторой точке поверхности волны нормаль к этой поверхности совпадает с направлением а ось параллельна проекции вектора на плоскость, касательную к поверхности волны. Тогда

Подставляя (8.11) в уравнения (8.16) и учитывая, что скорости продольных и поперечных волн определяются как получаем

где

Легко видеть, что в (8.21) собственный вектор, отвечающий собственному значению есть

Следовательно, нейтральная волна является одновременно поперечной волной (за исключением случая, когда который будет рассмотрен ниже). Остальные же две скорости распространения волн, т. е. скорости распространения быстрых и медленных волн [см. систему уравнений (8.21)], являются кор нями уравнения

Можно показать, что корни уравнения (8.24) удовлетворяют неравенствам [147, 148]:

Умножая на на и вычитая второе из первого, получаем

Обозначим через угол между вектором и нормалью к волне. Из уравнения (8.26) получаем

Учитывая неравенство (8.25), можно установить, что направление скачка определенное формулой (8.27), лежит между направлением нормали к волне и направлением оси Имеем два случая: угол равен нулю (когда или (когда Эти случаи необходимо рассмотреть отдельно.

Случай 1. . Подставляя это условие в уравнение (8.24), получаем выражение для скорости распространения волн. Уравнение (8.24) имеет следующие корни:

Корень соответствует поперечной нейтральной волне, для которой имеет произвольное направление в касательной плоскости. Для другого корня имеем Быстрые волны являются продольными волнами при или же поперечными нейтральными волнами при Медленные волны являются поперечными нейтральными волнами при или продольными при

В случае одномерных продольных волн в полупространстве и одномерных сферических волн имеют место соотношения

откуда

где

Величина является модулем упрочнения (это есть отношение приращения напряжения к приращению пластической деформации) в случае простого растяжения или сдвига. При получим упругое тело. Имеем т. е. получим скорость распространения продольных упругих волн. Если же то тело идеально пластическое. В этом случае получим скорость продольных волн в жидкости, равную

Случай Из уравнения (8.24) при получим выражение для скорости быстрых волн в виде: эти волны распространяются со скоростью упругих продольных волн. Собственный вектор, отвечающий этой скорости, на основании уравнений (8.21) имеет следующие значения: . В этом случае быстрые волны являются продольными нейтральными волнами.

Аналогично для скорости медленных волн при получим из (8.24) выражение

Собственный вектор, отвечающий собственному значению (8.31), на основании (8.21) имеет значения: . В этом случае медленные волны являются поперечными волнами.

Полагая получаем

где

— модуль упрочнения в случае простого сдвига.

Анализируя (8.32), можно установить, что при случай упругого тела) скорость поперечных упругих волн равна при (случай идеально пластического тела) скорость распространения волн равна нулю, так же как и в случае жидкости, где поперечные разрывы не распространяются.