9.2. Характеристические кривые и уравнения характеристик

Систему уравнений (9.4) можно разрешить относительно производных в некоторой точке координатной плоскости тогда и только тогда, когда в точке матрица коэффициентов неособая. Если матрица в точке особая, то линия называется характеристической в точке в противном случае эта линия называется нехарактеристической [24].

Путем введения новых независимых переменных вместо переменных задачу Коши с начальными данными на произвольной аналитической кривой С, представленной уравнением вида и являющейся одной из кривых семейства можно свести к случаю, когда начальное множество представляет собой ось координат. Система уравнений (9.4) в координатах и будет иметь следующий вид:

Кривая С называется характеристической в точке если прямая является характеристической для преобразованной системы (9.7) в соответствующей точке

Определим теперь характеристики системы уравнений (9.4). Предположим, что в рассматриваемой области одна из матриц (9.5), например матрица В, неособая, т. е. что Кроме того, предполагается, что коэффициенты системы (9.4) дифференцируемы.

Рассмотрим уравнения (9.4) и поставим задачу Коши: на произвольной кривой С с уравнением (причем ) заданы начальные значения вектора и; определим первые производные и на С таким образом, чтобы в некоторой области удовлетворялось уравнение

Следует прежде всего заметить, что на кривой С известна внутренняя производная На кривой С имеет место соотношение между и и вида

где

Подставляя (9.8) в (9.4), получаем на кривой С

т. е. систему уравнений относительно производных.

Необходимым и достаточным условием однозначного определения всех первых производных на С есть условие

где называется характеристическим определителем системы уравнений (9.4).

Если на кривых то эти кривые нехарактеристические. Любую такую кривую можно дополнить до «полосы», в которой справедливы уравнения (9.4).

Если вещественное решение алгебраического уравнения порядка относительно а, то кривые С, определенные обыкновенным дифференциальным уравнением

являются характеристическими кривыми.

Если уравнение не имеет вещественных корней а, то все кривые нехарактеристические; следовательно, всегда возможно локальное продолжение в рассматриваемую область начальных данных. Система уравнений в этом случае называется эллиптической. Если уравнение имеет вещественных корней, причем все корни различны, система уравнений называется вполне гиперболической,

Если а — вещественный корень уравнения на кривой С можно решить следующую систему уравнений относительно вектора Вектор 1 есть решение уравнения

В этом случае линейную комбинацию уравнений можно записать в виде

или в матричной форме

Обозначим через

производную функции по переменной в направлении отсюда видно, что уравнения (9.13) или (9.14) содержат линейные комбинации производных

Уравнение

в общем случае определяет для всех функций направление дифференцирования для уравнения (9.14), которое является характеристическим направлением системы уравнений (9.9).

Итак, вдоль характеристических направлений (9.16) системы уравнений (9.9) имеем следующие соотношения:

Эти уравнения представляют собой соотношения вдоль характеристик. Вектор определяется из уравнения (9.12). Таким образом, в случае системы гиперболического типа, т. е. когда существует семейств характеристических кривых, систему уравнений (9.4) можно заменить эквивалентной системой уравнений (9.17), в которой каждое уравнение содержит дифференцирование только в направлении одной характеристики.

Все приведенные здесь рассуждения можно непосредственно распространить на случай уравнений первого порядка с независимыми переменными (см. [24]).

Рассмотрим теперь случай системы двух уравнений с частными производными первого порядка относительно независимых переменных Рассмотрим, следовательно, систему уравнений

где

Характеристические направления, согласно (9.10), определяются из условия Получается алгебраическое уравнение второго порядка для определения а, корни которого суть

где

Система уравнений (9.18) является

Дифференциальные уравнения характеристик имеют следующий вид:

Из (9.17) получим соотношения вдоль характеристических направлений

причем вектор определяется из уравнений (9.12).

В случае распространения упруго/вязкопластических волн (для определяющих уравнений типа (3.27)), когда движение рассматриваемой среды зависит только от одной пространственной переменной уравнения задачи имеют форму (9.6) и являются уравнениями почти линейного типа (т. е. компоненты матриц являются функциями только Легко заметить, что вектор с (нелинейный относительно ) не влияет на скорость распространения волн. Отсюда можно сделать вывод, что скорости вязкопластических волн равны скоростям упругих волн.