9.3. Граничные задачи для квазилинейных гиперболических систем двух дифференциальных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными

В общем случае для систем уравнений с частными производными, описывающих волновые задачи для упругопластических и упруго/вязкопластических тел, нельзя определить решение в замкнутом виде. Ввиду этого для нахождения решения применяются приближенные методы [115]. Основой этих методов является аппроксимация производных в дифференциальных уравнениях отношениями разностей и решение полученных систем разностных уравнений вместо дифференциальных систем.

Разностные методы должны гарантировать сходимость к точному решению дифференциальных уравнений. Необходимым условием сходимости является устойчивость этих методов.

Рис. 20.

Рассмотрим метод конечных разностей вдоль характеристик.

Возьмем систему двух однородных квазилинейных уравнений первого порядка (9.18) при

Предположим, что это гиперболическая система уравнений, т. е. имеется два различных характеристических направления определенных формулой (9.20). Когда (9.18) является системой почти линейных уравнений, т. е. процедура действий будет аналогичной.

Решение конкретных краевых задач строится приближенным методом, который заключается в замене дифференциальных уравнений характеристик в плоскости годографа и на координатной плоскости уравнениями конечных приращений. Следует заметить, что в частных случаях, используя метод характеристик, можно построить точные решения краевых задач.

Рассмотрим решение задачи Коши для уравнения (9.23) в области координатной плоскости (рис. 20), ограниченной нехарактеристической кривой ориентированной

в пространстве, на которой заданы начальные условия и характеристиками, проведенными из точек . Из точек кривой С можно провести два семейства характеристик — положительных и отрицательных, покрывающих всю область сеткой характеристик (рис. 20). Заменим дифференциальные уравнения характеристик (9.21) уравнениями в конечных приращениях

а также уравнения (9.22) при уравнениями в конечных приращениях

где

Если известны значения и значения функций т. е. значения функций в точках тип (рис. 20), то, решая вышеприведенные системы уравнений, найдем значения в точке соответствующей точке пересечения характеристик, выходящих из точек тип. Таким образом, строя решение в отдельных рядах начиная от кривой С, получим решение во всей области

Рассмотрим решение задачи Пикара для однородной системы квазилинейных уравнений (9.23) в области (рис. 21), ограниченной на координатной плоскости характеристической кривой на которой заданы значения функций и кривой ориентированной во времени, на которой задана функция Решение строится с помощью уравнений (9.24) и (9.25). Так как известны значения из вторых уравнений

определяется положение точки на кривой (из первого уравнения (9.26)) и значение функции в этой точке. Затем,

зная значения так же как в случае задачи Коши, с помощью уравнений (9.24) и (9.25) находится решение для точки Аналогично находится решение в последующих точках ряда . В свою очередь, переходя к ряду всю процедуру заново повторяют, затем переходят к ряду

Если кривая (рис. 21) также является характеристической кривой, на которой заданы значения функций то в области ограниченной характеристиками а также характеристиками, проведенными из точки необходимо решать задачу Дарбу для уравнения (9.23). Если же кривая и кривая (рис. 21) являются нехарактеристическими кривыми, ориентированными во времени, и на кривой известны значения функций а на кривой значения функции то в области необходимо решать задачу Гурса для уравнения (9.23). Область в этом случае ограничена характеристическими кривыми, проведенными из точки и нехарактеристическими кривыми

Решения задач Дарбу и Гурса строятся с помощью соотношений (9.240 и (9.25).

Рис. 21.

Ввиду того что в общем случае для систем квазилинейных уравнений (9.23) уравнения характеристик зависят от решения и, способ нахождения решения с помощью метода конечных разностей вдоль характеристик довольно сложен.

Часто применяемым методом решения гиперболической системы двух квазилинейных и почти линейных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными

является итерационный метод Куранта [24]. Этот метод основан на сведении рассматриваемой системы уравнений с частными производными к обыкновенным уравнениям. В этих уравнениях дифференцирование производится только в направлении характеристик. Отыскание решений обыкновенных уравнений проводится методом последовательных приближений. Обзор приближенных методов решения волновых задач для неупругих сред, в которых движение описывается гиперболической системой

уравнений с частными производными первого порядка (почти линейных и квазилинейных), можно найти в работах [115, 98].

В работе [98] сделаны оценки пяти различных методов решения краевых задач для неупругих сред и их эффективности при решении краевых задач. На примере проведенных вычислений для задачи распространения цилиндрической волны сдвига в упруго/вязкопластической среде показано, что результаты, полученные при использовании итерационного метода Куранта, метода непосредственного интегрирования и метода конечных разностей, близки. Максимальное отличие результатов, полученных этими методами, не превышает 3% в рассматриваемом отрезке времени.

В случае системы двух линейных уравнений с частными производными первого порядка с постоянными коэффициентами для двух независимых функций эту систему можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами для функции или Тогда решения краевых задач можно определить в аналитическом виде [24, 62]. В этом случае можно также использовать интегральное преобразование Лапласа (см., например, п. 15). Этот метод, однако, непригоден в некоторых случаях, именно тогда, когда вместе с решением данной системы уравнений необходимо определить границу области, в которой ищется решение, например при определении волны разгрузки для упругопластической среды (с кусочно линейной характеристикой материала).

Численные методы непосредственного интегрирования системы почти линейных дифференциальных уравнений типа (9.18) будут показаны на примере задачи распространения волн в упруго/вязкопластическом стержне в п. 15 и для случая распространения трехмерных волн — в п. 27.

Обобщение представленного в этом пункте метода характеристик на случай системы уравнений с числом независимых переменных, большим двух, будет показано в п. 27 на примере задач распространения плоских двумерных волн напряжений.

Обзор численных методов читатель найдет в работах [209] и [212].