5. Уравнения движения и уравнения сплошности

Уравнения движения выводятся из принципа сохранения количества движения тела объема. V, ограниченного поверхностью

где плотность среды, составляющие вектора скорости частиц сплошной среды, составляющие вектора внешних сил,

— составляющие вектора напряжений, приложенного к поверхности определяют направление нормали к поверхности в точке приложения вектора Используя соотношение

уравнение (5.1) для элемента с постоянной величиной можно свести в прямоугольной системе координат к следующему виду:

Используя определение материальной производной, вместо (5.4) имеем

Можно показать, что в случае малых градиентов перемещения уравнения движения имеют следующий вид;

Выведем теперь из уравнений движения декартовых координатах уравнения движения в произвольной системе криволинейных координат.

Обозначим в пространстве через точку с декартовыми прямоугольными координатами и криволинейными

координатами Обозначим через единичные век торы осей Они образуют неподвижный ортогональный базис. Рассмотрим в точке векторы

Эти векторы касательны к линиям криволинейных координат. Они образуют естественный базис в точке (в общем случае неортогональный), который изменяется при движении точки

Составляющие метрического (основного) тензора определяются следующим образом:

Определитель матрицы равен

Символы Кристоффеля первого рода выражаются через координаты метрического тензора в виде

Символы Кристоффеля второго рода определяются как

с условием симметрии по отношению к нижним индексам

В случае ортогональных криволинейных координат символы Кристоффеля второго рода определяются следующим образом:

(черточки под одинаковыми индексами означают, что по этим индексам нет суммирования).

Уравнения движения (5.5) запишем в криволинейных координатах в виде

или

где а — вектор ускорения, символом обозначена ковариантная производная.

Ковариантные составляющие вектора ускорения имеют

контравариантные составляющие вектора ускорения определяются следующим образом:

где контравариантные координаты вектора скорости:

Пользуясь определением символов Кристоффеля (5.9) и (5.10), можно представить выражение (5.15) в более простом виде, а именно

Уравнения движения (5.12), (5.13) в произвольной системе криволинейных координат будут иметь соответственно вид

В случае ортогональных криволинейных координат, учитывая выражение (5.11), уравнения (5.18) можно представить в виде

где выражены формулой (5.16).

Выведем теперь уравнения сплошности. Из принципа сохранения массы, утверждающего, что при произвольном движении сплошной среды масса, проходящая через элемент поверхности, ограничивающей объем V, эквивалентна изменению массы внутри этого объема, т. е.

где направляющие косинусы нормали к элементу поверхности вытекают уравнения сплошности

В случае криволинейных координат уравнения сплошности приобретают вид