12. Отражение от преграды плоской волны разгрузки в упругопластической среде

Рассмотрим теперь задачу о распространении плоских волн напряжений в ограниченном упругопластическом стержне.

Рис. 35.

Задача отражения волны разгрузки от конца стержня является довольно сложной, особенно в случае отражения волны разгрузки слабого разрыва, так как волны нагружения, распространяющиеся быстрее волн разгрузки, раньше достигают конца стержня который, например, закреплен, отражаются от него и при обратном распространении встречают волну разгрузки, которую они могут остановить. Обычно через некоторое время от закрепленного конца стержня начинает распространяться новая волна разгрузки, перемещающаяся в направлении к другому концу стержня Задача отражения волны сильного разрыва в случае, когда фронт волны сильного разрыва является одновременно волной разгрузки, несколько проще. В этом случае волна разгрузки первой достигнет конца стержня и отразится от него.

Рассмотрим задачу об отражении волны сильного разрыва (произвольной волны сильного разрыва, не обязательно волны разгрузки) от конца стержня который закреплен жестко, упруго или свободен. В общем случае примем, что на конце (рис. 35) закреплена недеформируемая масса с амортизатором постоянной вязкости с и пружиной с коэффициентом жесткости После отражения волны сильного разрыва от конца в стержне появляется новая волна сильного разрыва (отраженная). Обозначая через перемещение массы

М в направлении оси через реакцию системы (состоящую из массы пружины и амортизатора с), измеренную в единицах напряжения, получаем

(контакт массы со стержнем предполагается постоянным), Так как отраженная волна есть волна сильного разрыва, на ее фронте должно выполняться условие динамической непрерывности (11.26):

где индексами «пад» и обозначены значения напряжений и скорости соответственно на падающей и отраженной волнах; — скорость распространения отраженной волны. Из (12.1) получим

С другой стороны, движение массы можно трактовать как колебание системы с одной степенью свободы, возмущаемой силой уравнение ее колебаний имеет вид

Начало колебаний отсчитывается от момента достижения падающей волной конца Таким образом, для из (12.4) с учетом (12.3) имеем

Если падающая волна распространяется в невозмущенной среде, то из условия динамической непрерывности (11.25) получим

где — скорость падающей волны. Таким образом, из (12.5) найдем

где

Если для уравнения (12.7) начальные условия примем однородными, т. е. положим то

В момент отражения волны сильного разрыва напряжение на ее фронте равно Когда скорость распространения отраженной волны совпадает со скоростью

падающей волны, т. е. , в момент отражения волны от системы, состоящей из элементов на фронте отраженной волны напряжение равно

Если положить то можно взять только одно начальное условие, а именно и реакция в момент будет равна

Если принять, что и то

Положив и получим величину реакции в случае жесткого закрепления конца стержня

и в случае свободного конца получим

Рассмотрим для упругопластической среды случай отражения волны пластического нагружения слабого разрыва от жестко закрепленного конца стержня.

Рис. 36.

Нетрудно доказать, что отраженная от жесткой преграды волна пластического нагружения начинает распространяться с бесконечной начальной скоростью. Действительно, на волне нагружения должно быть выполнено условие Дифференцируя это условие по времени, получаем

где скорость распространения этой волны. Учитывая краевое условие на закрепленном конце стержня, из уравнения движения (10.7) получаем а следовательно, если только

Сделаем теперь несколько замечаний, связанных с распространением плоских волн напряжений в слоистых средах. Допустим, что в полубесконечном стержне на расстоянии от конца находится жесткая масса (рис. 36); кроме того, положим, что плотность массы равна при при

Предположим также, что в процессе колебаний не происходит отрыва стержней от массы

В сечении должны быть выполнены следующие условия:

условие непрерывности массовых скоростей

условие равновесия сил, приложенных к сосредоточенной массе

время отсчитывается от момента достижения падающей волной сечения Падающая волна отражается от массы и переходит во второй стержень.

Решение этой задачи несколько упрощается в случае волн сильного разрыва. Необходимо обратить внимание на тот факт, что когда на массу падает волна сильного разрыва, то отраженная волна также будет волной сильного разрыва, а в области будут распространяться только волны слабого разрыва.

Рис. 37

Рис. 38.

Это результат инертности массы Начальное условие для уравнения (12.14) имеет вид При условие (12.14) упрощается и принимает вид

Если на границу, разделяющую среду, падает волна сильного разрыва, то волна, отраженная от границы а также преломленная волна в другом стержне являются волнами сильного

разрыва. Из-за сложностей вычислительного характера мы не будем приводить здесь решений в отдельных областях координатной плоскости.

Существует ряд решений задач этого типа как в случае однородных сред, так и неоднородных, например для среды с переменным пределом текучести. В п. 14 в случае модели упругопластического тела с жесткой разгрузкой будет рассмотрено решение задачи о распространении волны разгрузки в полубесконечном стержне, в сечении которого находится жесткая масса т. е. для заданы условия (12.13) и (12.14).

В заключение рассмотрим частный случай отражения волн в упругопластическом стержне, конец которого закреплен (рис. 37). Положим, что давление на конце стержня изменяется периодически, частота изменений зависит от характеристики материала и длины стержня. Амплитуда нагрузки принимается постоянной и равной пределу упругости, период изменения давления Эта задача была решена в работе [56] аналитическим и графическим методами. Была принята модель Прандтля без учета эффекта Баушингера и в предположении, что пределы текучести при растяжении и сжатии равны (рис. 38). Строя решение в отдельных областях координатной плоскости (рис. 37), получим следующие рекуррентные формулы:

для областей с номером

где

для областей с номером

где

При получим следующие значения для предельного цикла:

Коэффициент увеличения амплитуды напряжения определяется как

Следует заметить, что для малых значений имеет место значительное увеличение амплитуды напряжения, для больших же значений (существенно пластические среды) увеличение амплитуды мало. При получается переход к теории упругости, следовательно, к классическому случаю гармонического резонанса (период изменения нагрузки в этом случае будет При возможны два случая: идеальной пластичности или жесткой разгрузки. Показано также, что явление «пластического резонанса» существует тогда, когда период возмущения задается как

где начальный период, Этот результат важен с практической точки зрения, так как в эксперименте трудно получить возмущение с начальным периодом который очень мал из-за больших скоростей распространения волн в стержне и из-за малых длин стержней, используемых в лабораториях.