13. Распространение плоских ударных волн

До сих пор исследовались задачи о распространении плоских волн напряжений в упругопластических средах в случае, когда Рассмотренные волны сильного разрыва были вызваны исключительно разрывами в краевых условиях (внезапное приложение давления к концу стержня, удар стержня о преграду и т. д.). Изучим теперь задачу о распространении плоских ударных волн, характеризующихся тем, что на фронте волны возникает разрыв напряжений, скоростей, деформаций (первых производных перемещения) независимо от вида краевого условия. В случае плоских волн ударные волны возникают

тогда, когда в процессе нагружения или когда представляет кривую, выпуклую относительно оси 8 (рис. 39). В случае характеристики материала, для которой большие напряжения распространяются с большими скоростями. Когда, например, на конце стержня действует давление, монотонно возрастающее от нуля, волны в среде будут распространяться следующим образом: чем больше напряжение, тем быстрее бежит волна, а следовательно, она будет догонять медленные волны, вызванные меньшими напряжениями.

Рис. 39.

В результате такого наложения напряжений возникает фронт волны разрыва, названной ударной волной. В общем случае определение ударной волны весьма сложно.

Рассмотрим случай распространения ударной волны в упругопластическом стержне, к концу которого внезапно приложено давление монотонно убывающее затем во времени; краевое условие имеет вид

или для деформаций

однозначно определяется из графика через . Для процесса нагружения примем криволинейную характеристику материала (рис. 39), причем выполняется условие Предположим, что процесс разгрузки совершается упруго.

В области нагружения имеет место уравнение (10.8):

а в области разгрузки — уравнение (11.7):

где

В случае заданного нагружения конца стержня (условие (13.1)) из начала системы координат на координатной плоскости (рис. 40) начинает распространяться ударная волна; в этом случае она является волной разгрузки. Эту волну обозначим через

Форма ее заранее неизвестна.

Рис. 40.

Общее решение уравнения (13.3) имеет вид (11.10) или

На ударной волне должны быть выполнены условия

условие непрерывности (7.8) и условие динамической непрерывности (7.17), которые в случае плоских волн имеют вид

где индексами 1 и 2 обозначены значения соответственно перед и за фронтом ударной волны, скорость ударной волны, Если ударная волна распространяется в невозмущенной среде, то, очевидно,

Используя граничное условие на ударной волне (13.5), условие непрерывности (13.6) и краевое условие (13.1), можно определить неизвестные функции и форму ударной волны. Удовлетворяя краевому условию (13.1), получаем

где

Удовлетворяя условиям (13.5) на ударной волне имеем

Используя (13.7) и равенство получаем следующую систему двух уравнений:

Вводя обозначения , находим

Решая совместно уравнения (13.10), получим

Если ограничиться случаем, когда скорость ударной волны есть малая низшего порядка по отношению к скорости упругих волн в среде, т. е. когда [15], из (13.11) получаем следующее соотношение:

Из (13.12) можно определить и уравнение ударной волны в нулевом приближении. Затем методом последовательных приближений можно найти волну разгрузки, при этом за нулевое приближение принимается значение определенное из (13.12), и связанные с ним параметры решения Подставляя полученные нулевые приближения в правую часть уравнения и исключая в уравнении при помощи условий непрерывности (13.6), получаем систему уравнений

где

здесь использован тот факт, что

Производя в уравнении замену переменной

и полагая, что для малых из системы (13.13) [в которой представим как в первом приближении получим дифференциальное уравнение первого порядка для определения фронта ударной волны Рекуррентная формула для определения приближения будет иметь вид

Сходимость полученных этим способом решений исследовалась только в конкретных случаях [115].

Рассмотрим теперь один простой и эффективный метод определения ударной волны [139] для приведенного выше случая. Положим, что известной является форма первого отрезка ударной волны в пределах времени (см. рис. 40). Уравнение кривой ОА обозначим через В области ограниченной границами можно поставить задачу Гурса.

Функцию, описывающую ударную волну на отрезке разложим в ряд Маклорена в окрестности ее начальной точки

здесь коэффициенты разложения вычисляются при помощи уравнений, описывающих задачу, и условий динамической и кинематической непрерывности на фронте ударной волны и (7.27), которые в случае плоских волн имеют вид

Если ударная волна распространяется в невозмущеняой среде, то перед фронтом волны и соотношения (13.16) принимают вид

где индексом нуль обозначены значения на ударной волне со стороны области разгрузки.

Из условий непрерывности (13.17) и условия получим (для )

Дифференцируя на ударной волне имеем

Запишем (13.17) в виде дифференцируя это равенство по времени, находим

Используя уравнение движения в области разгрузки (11.4) и последнее равенство и переходя к пределу при получаем выражение для второго коэффициента разложения:

Учитывая (13.18), имеем

где скорость упругих волн в области разгрузки.

Аналогичным способом можно определить последующие коэффициенты разложения в формуле (13.15). Радиус сходимости ряда (13.15) зависит от характеристики среды и от характера изменения давления на конце Ошибку вычислений, вытекающую из принятия конечного числа членов разложения (13.15), можно оценить следующим способом. Принимая форму ударной волны в виде, например, двух членов разложения (13.15), вычислим обратным путем (подобно тому, как это сделано в п. 11 для случая волны разгрузки, когда изменение давления на конце стержня, отвечающее заданной

форме ударной волны. Разница между вычисленным таким образом давлением и действительным является ошибкой расчета. Из соотношений на характеристиках в области разгрузки (11.38) и условий динамической и кинематической непрерывности на фронте ударной волны (13.17) получим решение в области I (рис. 40):

где

Приступим теперь к построению следующего отрезка ударной волны (рис. 40). Вдоль положительных характеристик, проведенных на конце стержня, в силу соотношения имеем

Исключая из этого уравнения скорость при помощи (13.17), получаем на ударной волне следующее соотношение:

где Это неявное уравнение служит для определения функции

Если функция такова, что уравнение (13.21) можно разрешить относительно то можно записать

В силу условий непрерывности (13.17), имеем

что после интегрирования при начальном условии приводит к интегральному уравнению

которое решается методом последовательных приближений с

известными оценками. Когда же вид функции не позволяет разрешить уравнение (13.21) относительно то в формуле (13.21) вместо функции следует взять ее первое приближение, например Тогда из (13.21) определим в нулевом приближении, а из (13.24) получим первое приближение фронта ударной волны Повторяя эту операцию, получим последовательность приближений фронта волны . В работе [139] на конкретных примерах показано, что процесс последовательных приближений быстро сходится. Решение в области II строится так же, как и в области , при помощи соотношений вдоль характеристик. Подставив в формулы (13.20) вместо функцию получим решение в области II. Построение последующих отрезков ударной волны (рис. 40), а также решений в последующих областях координатной плоскости проходит так же, как и в областях I и II.