9. Математические методы, применяемые в задачах о распространении пластических волн

Многие волновые задачи для упругопластических или упруго/вязкопластических сред сводятся к решению граничных задач для системы уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа. Ввиду того что в большинстве задач, решаемых в этой книге, движение среды описывается с помощью одной пространственной переменной и переменной времени, ограничимся системами с двумя независимыми переменными [24].

9.1. Системы квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка с двумя независимыми переменными х и t

Уравнения с частными производными первого порядка для функций имеют следующий общий вид:

Эта система определённа при Введя векторные величины

систему уравнений (9.1) можно представить в виде

Функции обладающие непрерывными производными и удовлетворяющие системе уравнений (9.3), называются решениями этой системы.

В случае когда функции линейны относительно величин система дифференциальных уравнений (9.3) называется системой квазилинейных уравнений. Когда функции линейны относительно совокупности переменных и эта система называется системой линейных уравнений.

Систему квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка можно записать в виде

где коэффициенты функции переменных Когда коэффициенты не зависят от и, система уравнений (9.4) называется почти линейной системой. Когда зависят от и линейно, такая система называется линейной системой. Когда коэффициенты равны нулю, система называется однородной.

Систему уравнений (9.4) можно представить также в матричной форме, вводя векторы, определенные в (9.2), вектор и матрицы элементы которых суть коэффициенты соответственно:

Для примем обозначение чтобы не писать знак суммы в случаях, не приводящих к двусмысленности: