10.4.6. Параметризация с помощью экспоненциально взвешенных оценок (ЭВ-оценки).

Если в формулах (10.23), (10.24) положить где К — малый параметр, то мы придем к однопараметрическому классу оценок, предложенных Л. Д. Мешалкиным в 1970 г. Это удобные, устойчивые к несимметричным засорениям оценки, допускающие простую вероятностную интерпретацию и обобщение на многомерный случай. В последние годы они интенсивно изучались [56, 89, 90, 128] и для них построена асимптотическая теория для нормальных распределений в многомерном случае и для негауссовских распределений в одномерном. Наглядная геометрическая интерпретация ЭВ - оценок и простота вычислительных процедур позволили перенести их на задачи многомерной геометрии [49] и регрессии [58].

Изложение начнем с вероятностной интерпретации ЭВ-оценок. С помощью цепочки определений каждому многомерному распределению будет указан наиболее близкий к нему нормальный закон и параметры этого закона будут приняты за параметры исходного распределения. Пусть — любое выпуклое множество в и

— расстояние между распределениями F и

Определение 1. Пусть — весовая функция, тогда вектор

и матрицу

где будем называть -взвешенным средним и -взвешенной ковариационной матрицей.

Определение 2. Распределения, имеющие общие -взвешенные ковариационные матрицы, будем называть -подобными.

Концепция -подобия дает возможность связать произвольное распределение F с -подобным ему нормальным законом N и использовать первые и вторые моменты N при описании F.

Выбор весовой функции существенно зависит от решаемой задачи. При задаче описания центральной части распределения весовую функцию естественно связать с плотностью -подобного нормального закона.

Определение 3. Пусть — плотность в точке X нормального закона N с вектором средних М и ковариационной матрицей . Будем называть закон -связанным (или короче -связанным) с F, если он -подобен F и Последнее условие введено для того, чтобы гарантировать при малых С единственность -связанного с F нормального закона, так как в общем случае может быть несколько -подобных F нормальных законов.

Определение 4. Пусть N — -связанный с F нормальный закон. Вектор средних и ковариационную матрицу N будем называть -средним и -ковариационной матрицей

Из этих определений, в частности, следует, что для любого нормального закона его -моменты совпадают с обычными моментами.

Пусть — множество всех -мерных невырожденных, т. е. не сосредоточенных в подпространстве меньшей, чем , размерности нормальных распределений и — множество всех распределений F, для которых

Обращаясь к работам [56, 89], можно показать, что для любого существуют такие что для любого

1) существует одно и только одно -связанное с F нормальное распределение;

2) -среднее (MF) и -ковариационная матрица — непрерывные функции F (в смысле -расстояния);

3) при линейном преобразовании переменных Переднее и -ковариационная матрица F меняются так же, как соответствующие моменты нормального закона;

4) -моменты удовлетворяют системе уравнений

(10.21)

где

При известной функции и надлежащем выборе начального приближения решение системы (10.20), (10.21) может быть найдено итерационным путем;

5) в случае оценки параметров по независимой выборке объема интегралы в системе (10.20), (10.21) должны быть заменены на соответствующие суммы по всем наблюдениям;

(10.20)

А. М. Шурыгин [89] рекомендует в нормальном случае вводить в правую часть (10.21) множитель как поправку на конечность выборки, где

6) оценки М, В состоятельны и асимптотически нормальны. В одномерном случае их асимптотическая ковариационная матрица имеет вид , где С может быть выражено через первые четыре и -моменты. Пусть тогда где К, Н — симметричные квадратные матрицы порядка 2;

В практических расчетах величины можно заменить их оценками по выборочным данным;

7) в многомерном нормальном случае оценки М и В асимптотически независимы, асимптотическая ковариационная матрица М имеет вид:

Выборочные свойства -моментов в одномерном случае иллюстрируются в табл. (10.4) [571, где даны оценки -среднего и -дисперсии по ста выборкам объема 1001. Как видно по данным таблицы, введение весовой функции в нормальном случае несколько ухудшает свойства оценок, но зато в случае «засоренного» распределения не только уменьшает

Таблица 10.4

смещение оценок, но и улучшает выборочные свойства оценок . На практике можно рекомендовать выбирать значения X в зависимости от объема выборки и размерности выборочного пространства так, чтобы, с одной стороны, взвешивание «гасило» большие отклонения, а, с другой стороны, потеря эффективности от взвешивания не была бы чрезмерной.

Взвешенные оценки с произвольным выбором весов рассматриваются в [126].