6.1.4. Полиномиальное (мультиномиальное) распределение.

Полезным обобщением биномиального распределения на случай более чем двух возможных исходов является полиномиальная (мультиномиальная) генеральная совокупность. Она является бесконечной и содержит объекты классов (свойств) представленных соответственно в долях (в биномиальной генеральной совокупности мы имели ). Таким образом, в результате одного случайного эксперимента (случайного извлечения объекта из этой бесконечной совокупности) объект класса появляется с вероятностью

Нас будет интересовать распределение многомерной случайной величины порожденной -кратным случайным экспериментом (т. е. выборкой из объектов), где — число объектов класса, оказавшихся в этой выборке, а (очевидно и

Соответствующее многомерное дискретное распределение описывается выражением (доказывается прямым вероятностным рассуждением)

где — любые (заданные) целые неотрицательные числа, подчиненные условию а выражение (6.7) определяет вероятность того, что среди извлеченных объектов оказалось ровно объектов класса, объектов класса и т. д. Можно также связывать полиномиальную случайную величину с -кратным случайным экспериментом, каждый из которых может закончиться одним из возможных исходов причем вероятность исхода в единичном эксперименте равна

Название распределения объясняется тем, что выражение (6.7) является общим членом разложения многочлена (полинома)

Вектор средних значений и ковариации компонент исследуемой многомерной случайной величины определяются соотношениями:

Полиномиальное распределение применяется главным образом при статистической обработке выборок из больших совокупностей, элементы которых разделяются более чем на две категории (например, в различных социологических, экономико-социологических, медицинских и других выборочных обследованиях).