6.1.3. Распределение Пуассона.

Если интересует число наступлений определенного случайного события за единицу времени, когда факт наступления этого события в данном эксперименте не зависит от того, сколько раз и в какие моменты времени оно осуществлялось в прошлом, и не влияет на будущее, а испытания производятся в стационарных условиях, для описания распределения такой случайной величины обычно используют закон Пуассона (данное распределение впервые предложено и опубликовано этим ученым в 1837 г.). Этот закон можно также описывать как предельный случай биномиального распределения, когда вероятность осуществления интересующего нас события в единичном эксперименте очень мала, но число экспериментов , производимых в единицу времени, достаточно велико, а именно такое, что в процессе произведение стремится к некоторой положительной постоянной величине К (т. е. ). Поэтому закон Пуассона часто называют также законом редких событий.

Обозначим пуассоновскую случайную величину или просто (имея в виду предельный переход от биномиальной случайной величины по и выведем ее закон распределения:

Как видим, закон распределения Пуассона зависит от единственного параметра содержательно интерпретируемого как среднее число осуществления интересующего нас события в единицу времени.

С помощью «прямого счета» по формулам (5.21) могут быть подсчитаны основные числовые характеристики пуассоновской случайной величины:

Пуассоновская случайная величина используется для описания числа сбоев автоматической линии или числа отказов сложной системы (работающих в «нормальном» режиме) в единицу времени; числа «требований на обслуживание», поступивших в единицу времени в систему массового обслуживания; статистических закономерностей несчастных случаев и редких заболеваний.

Привлекательные прикладные свойства этого закона не исчерпываются вычислительными удобствами и лаконичностью формулы (6.6) (модель зависит всего от одного числового параметра X!). Оказывается, эта модель остается работоспособной и в ситуациях, отклоняющихся от вышеописанной схемы ее формирования.

Например, можно допустить, что разные бернуллиевские испытания имеют разные вероятности осуществления интересующего нас события . В этом случае биномиальный закон применительно к такой серии испытаний уже не может быть применен, в то время как выражение (6.6) остается приблизительно справедливым и дает достаточно точное описание распределения интересующей нас случайной величины, если только в него вместо подставить величину , где Сказанное означает, что можно предположить, что анализируемая совокупность состоит из смеси множества разнородных подсовокупностей, таких, что при переходе из одной подсовокупности в другую меняется доля содержащихся в них объектов с заданным свойством, а следовательно, меняется и среднее число X осуществления интересующего нас события в единицу времени. Можно далее показать, что если вместо использования среднего значения этих (или X) (при котором мы остаемся в рамках модели ) ввести в рассмотрение закон распределения меняющегося параметра , интерпретируемого как случайная величина, то мы придем к другому, но в определенном смысле близкому к пуассоновскому закону распределения. Так, например, если предположить, что функция плотности распределения случайного параметра X имеет вид

где — гамма-функция Эйлера, положительные числа k и — параметры закона, а — возможные значения , число осуществления (в единицу времени) интересующего нас события будет подчинено известному нам отрицательному биномиальному закону (6.4) (подробнее о распределении ) см. в п. 6.2.5).