7.2.1. Закон больших чисел.
Пусть 
— последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Если среднее значение 
существует, то среднее арифметическое случайных величин 
по 
неограниченного роста числа слагаемых (т. е. при 
) сходится по вероятности к этому теоретическому среднему значению а, т.е. для любых сколь угодно малых положительных величин 
наступает такой «момент» 
начиная с которого (т. е. при всех 
) будет справедливо неравенство
Доказательство этого утверждения не вызывает затруднений, если дополнительно потребовать существования конечной дисперсии случайных слагаемых 
, т. е. существования 
. Действительно, в этом случае для доказательства (7.3) достаточно воспользоваться неравенством Чебышева (7.2) применительно к случайной величине 
. Легко подсчитываются 
, и, следовательно, в соответствии с (7.2)
Выбрав 
мы, как легко видеть, обеспечим выполнение (7.3) при любых заданных значениях 
.
Доказательство (7.3) в общем случае можно найти, например, в [831.
В качестве следствия закона больших чисел рассмотрим следующий важный результат, объясняющий эффект устойчивости относительных частот.
