7.2. Свойство статистической устойчивости выборочных характеристик: закон больших чисел и его следствия

Давно было замечено, что результаты отдельных наблюдений (будь то экономические, демографические, физические, метеорологические или иные наблюдения), хотя и произведенных в относительно однородных условиях, колеблются сильно, в то время как средние из большого числа наблюдений обнаруживают замечательную устойчивость. К такого рода выборочным средним относятся и все введенные нами выше эмпирические (т. е. построенные по выборке) характеристики: как выборочные моменты (начальные и центральные) — см. § 5.6, так и эмпирические функция распределения функция плотности и относительные частоты — см. § 5.5 (при интерпретации ) в качестве выборочных средних нужно лишь помнить о возможности их выражения в терминах сумм случайных величин , где равно 1 и 0 в зависимости от того, попало или нет наблюдение в заранее определенную нами область возможных значений, см. ниже (7.4)).

Математическим основанием этого факта служат различные формы так называемого закона больших чисел. Формулировку первого частного варианта этого закона связывают с именем французского математика С. Д. Пуассона (Роissоn S. D. Recherches sur la probabilite de jugements en matiere criminelle et en matiere civile..., Paris, Gauthier—Villars, 1837). В формулировке, приведенной ниже, этот закон был впервые доказан А. Я. Хинчиным (см. Нintсhin A. Sur la loi des grands nombres Comptes rendus de Г Academie des Sciences, 189 (1929), 477—479).