4.1.2. Случайные события и правила действий с ними.

Как уже упоминалось, с каждым случайным экспериментом связано понятие совокупности всех возможных его исходов. Каждый из этих возможных исходов будем называть элементарным (неразложимым) событием (или элементарным исходом), а совокупность всех таких возможных исходов — пространством элементарных событий (исходов). Таким образом, в результате анализируемого случайного эксперимента обязательно происходит одно из элементарных событий, причем одновременно с ним не может произойти ни одно из остальных элементарных событий (о событиях, обладающих последним свойством, говорят, что они являются несовместными, см. ниже).

Рассмотрим пока лишь дискретный случай, т. е. только те ситуации, когда все элементарные события можно занумеровать числами

Иначе говоря, рассматриваемое пространство элементарных событий (обозначим его ) состоит лишь из конечного или счетного числа элементарных событий (обозначим их ), а сам факт «пространство состоит из элементарных событий кратко обозначим

или

Рассмотрим несколько примеров случайных экспериментов и соответствующих им пространств элементарных событий.

Пример 4.1. Подбрасывание монеты:

Пример 4.2. Выбрасывание одной игральной кости:

Пример 4.3. Четырехкратное бросание игральной кости.

Пример 4.4. Проверка (по альтернативному признаку) одного изделия, случайно отобранного из продукции массового производства:

Пример 4.5. Проверка (по альтернативному признаку) N изделий, случайно отобранных из продукции массового производства:

где — число обнаруженных изделий.

Пример 4.6. Проверка (по альтернативному признаку) двух выборок, состоящих соответственно из изделий, случайно отобранных из продукции массового производства:

Пример 4.7. Определение — числа сбоев станков автоматической линии за наугад выбранную смену:

Кроме элементарных событий исследователю приходится иметь дело с так называемыми составными (или разложимыми) событиями.

Событие С называется составным (разложимым), если можно указать по меньшей мере два таких элементарных события что из осуществления каждого из них в отдельности следует факт осуществления события С. Этот факт коротко формулируют: «событие С состоит из элементарных событий и записывают символически в виде

Пользуясь такой терминологией, случайным событием А называют любое помножество пространства элементарных событий (4.1), т. е.

что следует понимать так: осуществление любого из элементарных событий «входящих в А», влечет за собой осуществление события А.

Поясним эту терминологию на некоторых из примеров 4.1-4.7.

В примере 4.2 события = {выпадет четное число очков} и = {выпавшее число очков не превзойдет 3} запишутся соответственно .

В примере 4.3 интересовавшее нас в предыдущем параграфе событие А = {хотя бы один раз при четырехкратном бросании кости появится шестерка} будет состоять из всех тех четырехмерных векторов в которых хотя бы одна из компонент равна шести (можно подсчитать, что число таких векторов равно 671).

В примере 4.5 событие А = {число обнаруженных дефектных изделий не более 4}, очевидно, может быть записано .

В примере 4.7 событие А = {число зафиксированных за смену сбоев станков автоматической линии меньше 3} можно представить в виде .

Из определения теории вероятностей (см. § 2.1) следует, что в первую очередь надо запастись определенной структурой всех возможных связей между случайными событиями или, другими словами, определенными правилами действий с событиями и соответствующей терминологией.

Сумма (объединение) событий

— это такое событие , которое заключается в наступлении хотя бы одного из событий На языке элементарных событий, следовательно, сумма событий определяется как событие , состоящее из всех различных элементарных событий, составляющих события Таким образом, если нас интересует, например, сумма А событий А (число обнаруженных дефектных изделий не более (см. пример 4.5) и = {число обнаруженных дефектных изделий заключено между 2 и 6 включительно} = , то, очевидно, так как о том, что событие А произошло, будет сигнализировать реализация любого из элементарных событий

Произведение (пересечение) событий

— это такое событие , которое заключается в обязательном наступлении всех событий На языке элементарных событий, следовательно, произведение событий определяется как событие , состоящее лишь из тех элементарных событий, которые одновременно входят во все рассматриваемые события Так, что произведением упомянутых выше событий (см. пример 4.5) будет, очевидно, событие так как реализация каждого из элементарных событий в отдельности означает, как легко видеть одновременное наступление событий

Разность событий

— это такое событие , которое заключается в одновременном осуществлении двух фактов: событие произошло, а событие не произошло. На языке элементарных событий, следовательно, разность определяется как событие, состоящее из всех тех элементарных событий, которые входят в но не входят в Так что разностью рассмотренных выше в схеме примера 4.5 событий будет, очевидно, событие т. е. событие, заключающееся в том, что число обнаруженных в партии дефектных изделий окажется не превосходящим единицы.

Противоположное (дополнительное) событие

(к событию А) — это такое событие , которое состоит в ненаступлении события А. На языке элементарных событий, следовательно, А определяется как событие, состоящее из всех возможных элементарных событий, не входящих в А. Поэтому, используя понятие разности событий, можно записать . Так, например, событием, противоположным к событию из примера 4.5, очевидно, будет событие, заключающееся в том, что число обнаруженных в партии объема N дефектных изделий окажется большим 4, т. е. .

Достоверное событие

определяется как событие, состоящее из всех возможных элементарных событий, т. е. это событие (см. (4.1)). Название этого события оправдано тем обстоятельством, что пространство элементарных событий состоит из всех возможных исходов, т. е. в результате анализируемого случайного эксперимента обязательно произойдет одно из элементарных событий а следовательно, тот факт, что событие произойдет, достоверен.

Невозможное (пустое) событие

— это событие, противоположное достоверному, т. е. . Из определения непосредственно следует объяснение названия этого события: оно не содержит ни одного элементарного события , и, следовательно, при реализации исследуемого случайного эксперимента его осуществление невозможно.

Несовместными

называются события если в результате исследуемого случайного эксперимента никакие два из них не могут произойти одновременно. На языке элементарных событий это означает, что среди событий нельзя найти такую пару событий в которой обнаружилось бы хотя бы по одному общему элементарному событию. Используя понятия произведения событий и невозможного события, можно определить несовместные события как такую последовательность событий для любой пары которой справедливо соотношение . Очевидно, любые пары противоположных событий являются несовместными. Таковыми же являются (по определению) и все элементарные события.

Полная система событий

— это такой набор несовместных событий который в сумме исчерпывает все пространство элементарных событий, т. е.

Очевидно, набор всех элементарных событий можно рассматривать как частный случай полной системы событий. И вообще любое разбиение множества элементарных событий на непересекающиеся классы дает полную систему событий, в которой каждое из событий задается соответствующим классом разбиения. Так, обратившись вновь к примеру 4.5, положив в нем для определенности N=100 и обозначив букзой d число дефектных изделий, обнаруженных в партии, состоящей из 100 йаугад извлеченных изделий, отобранных от стационарно действующего массового производства, определим систему событий следующим образом.

— партия отличного качества;

— брак в пределах допустимой нормы (партия принимается);

— брак выше допустимой нормы (партия принимается по сниженным расценкам);

— партия целиком возвращается.

Очевидно, события образуют полную систему событий.