6.1.6. Логарифмически-нормальное распределение.
Случайная величина 
называется логарифмически-нормально распределенной, если ее логарифм 
подчинен нормальному закону распределения.
Это означает, в частности, что значения логарифмически-нормальной случайной величины формируются под воздействием очень большого числа взаимно независимых факторов, причем воздействие каждого отдельного фактора «равномерно незначительно» и равновероятно по знаку. При этом в отличие от схемы формирования механизма нормального закона последовательный характер воздействия случайных факторов таков, что случайный прирост, вызываемый действием каждого следующего фактора, пропорционален уже достигнутому к этому моменту значению исследуемой величины (в этом случае говорят о мультипликативном характере воздействия фактора). Математически сказанное может быть формализовано следующим образом. Если 
— неслучайная компонента исследуемого признака 
(т. е. как бы «истинное» значение 
в идеализированной схеме, когда устранено влияние всех случайных факторов), 
— численное выражение эффектов воздействия упомянутых выше случайных факторов, то последовательно трансформированные действием этих факторов значения исследуемого признака будут:
Отсюда легко получить
где 
. Но правая часть (6.11) есть результат аддитивного действия множества случайных факторов, что при сделанных выше предположениях должно приводить, как мы знаем (см. п. 6.1.5, а также § 7.3, посвященный центральной предельной теореме), к нормальному распределению этой суммы.
В то же время, учитывая достаточную многочисленность числа случайных слагаемых (т. е. полагая 
) и относительную незначительность воздействия каждого из них (т. е. полагая 
), можно от суммы в левой части (6.11) перейти к интегралу
Это. и означает в конечном счете, что логарифм интересующей нас величины (уменьшенный на постоянную величину 
подчиняется нормальному закону с нулевым средним значением, т. е.
откуда дифференцированием по x левой и правой частей этого соотношения получаем
(правомерность использованного при вычислении 
тождества 
вытекает из строгой монотонности преобразования 
Описанная схема формирования значений логарифмически-нормальной случайной величины оказывается характерной для многих конкретных физических и социально-экономических ситуаций (размеры и вес частиц, образующихся при дроблении; заработная плата работника; доход семьи; размеры космических образований; долговечность изделия, работающего в режиме износа и старения и др.; см., например, [2], [3], [91]).
Пример 6.1. В качестве случайной величины рассматривается душевой месячный доход (в долларах) семьи некоторой совокупности семей. Обследовано n=750 семей.
В табл. 6.1 и 6.2 приведены результаты группировки выборочных данных 
и их логарифмов 
соответственно (ширина интервала группирования равна 25 долларам). На рис. 6.1, а, б изображены гистограммы и плотности соответственно логарифмически-нормального и нормального законов распределения.
Рис. 6 1. Гистограмма и теоретическая (модельная) плотность, характеризующие распределение семей по среднедушевому месячному доходу (а) и по логарифму среднедушевого месячного дохода (б)
Ниже приводятся результаты вычисления основных числовых характеристик логарифмически-нормального распределения (в терминах параметров закона а и 
):
Из этих выражений видно, что асимметрия и эксцесс логарифмически-нормального распределения всегда положительны (и тем ближе к нулю, чем ближе к нулю 
), а мода, медиана и среднее выстраиваются как раз в том порядке, который мы видим на рис. 5.8, причем они будут стремиться к слиянию (а кривая плотности — к симметрии) по мере стремления к нулю величины 
При этом, хотя значения логарифмически-нормальной случайной величины образуются как «случайные искажения» некоторого «истинного значения» а, последнее в конечном счете выступает не в роли среднего значения, а в роли медианы.
