4.2.2. Случайные события, их вероятности и правила действий с ними (аксиоматический подход А. Н. Колмогорова).

Определим ту часть подмножеств пространства элементарных событий , которая содержит подмножества-события. Схема определения случайного события А в общем случае подобна той, которая была принята в дискретном случае. Но если в той ситуации нам достаточно было определить в качестве исходных понятий элементарные события (и любое подмножество пространства элементарных событий объявлялось событием), то в общем случае мы в каждой конкретной реальной ситуации должны (из физических, содержательных соображений) определить дополнительно к категорию подмножеств , которые, очевидно, являются событиями. А затем любое случайное событие А определяется как некоторое производное от «очевидно событийных» подмножеств введенной категории.

Определение случайного события.

Рассмотрим систему (конечную или счетную) подмножеств пространства элементарных событий , каждое из которых является событием. Тогда множество , состоящее из всех элементарных событий, дополнения и сумма также являются событиями (отсюда непосредственно следует, что и произведение является событием, так как его дополнение в соответствии с данным определением является событием).

Будем обозначать в дальнейшем систему тех подмножеств пространства элементарных исходов , которые являются событиями, буквой С.

Аксиома. Каждому подмножеству-событию А из системы С соответствует неотрицательное и не превосходящее единицы число называемое вероятностью события А у причем задающая это соответствие числовая функция множеств обладает следующими свойствами:

а)

б) если события несовместны, то

Из этой аксиомы непосредственно следует, в частности, связь между вероятностями прямого (А) и противоположного событий:

Аксиоматическое свойство б) вероятностей формулировалось и доказывалось в дискретном случае в виде теоремы сложения вероятностей.

Точно так же то, что называлось теоремой умножения вероятностей (и выводилось из определения и аксиомы в дискретном случае), в общем случае принимается по определению.

Определение условной вероятности.

Условная вероятность события А при условии, что уже имеет место событие В, определяется с помощью формулы

Правила действий с событиями и их вероятностями

и, в частности, формула полной вероятности (4.14), формула Байеса (4.18), определение независимости для системы событий (4.12), (4.13) и другие, доказанные в дискретном случае, имеют место (и могут быть доказаны) и в случае общего вероятностного пространства.

Итак, для исчерпывающего описания механизма исследуемого случайного эксперимента в общем случае, т. е. для задания в этом случае вероятное! него пространства, необходимо: 1) описать пространство элементарных событий Q; 2) описать систему С измеримых подмножеств этого пространства или таких подмножеств, которые должны быть принципиально наблюдаемыми (т. е. являются событиями); 3) каждому такому событию А из системы С поставить в соответствие неотрицательное число , называемое вероятностью события А, причем это соответствие должно удовлетворять требованиям а) и б) аксиомы (очевидно, такое соответствие Р есть числовая функция множества, определенная на подмножествах системы С; функции такого типа принято называть вероятностными мерами, определенными на системе подмножеств. С).

Поэтому если в дискретном случае для краткого символического описания вероятностного пространства достаточно было пары символов , то в общем случае для этой же цели требуется уже «тройка»

Приведенный выше пример с астрономическими наблюдениями звездного неба как бы подкрепляет физическую естественность понятий измеримого («наблюдаемого») и неизмеримого («ненаблюдаемого») подмножества пространства элементарных событий Q. Однако всякая модель, всякая теория, и в том числе современная аксиоматическая концепция теории вероятностей, есть лишь форма приближенного представления реальной действительности, форма, не свободная от недостатков. Чтобы предостеречь читателя от переоценки возможностей аксиоматической теоретико-вероятностной модели, рассмотрим несложный пример.

Практика долгосрочного социально-экономического и научно-технического прогнозирования широко использует различные формы экспертных опросов. Одной из таких форм является подход, при котором каждого из опрашиваемых экспертов просят субъективно оценить вероятность осуществления интересующего нас события в будущем Подходя к моделированию этого процесса с позиций субъективистской школы вероятностей и соответственно интерпретируя каждого из опрашиваемых экспертов в качестве своеобразного «измерительного прибора», мы можем определить понятие случайного эксперимента как результат ответа эксперта на поставленный ему вопрос. В этом случае пространство элементарных исходов , очевидно, должно состоять из всех точек отрезка [0, 1]. При конструировании системы С «наблюдаемых» подмножеств пространства естественно было бы априори потребовать, чтобы любой отрезок лежащий внутри отрезка (т. е. принадлежал бы к категории событий (т. е. для любого отрезка должна быть определена вероятность того, что численный ответ наугад выбранного эксперта будет принадлежать этому отрезку). Но тогда в соответствии с определением случайного события в общем случае событиями будут не только отрезки, но и все, что можно получить из них применением к ним (взятым в счетном числе) суммирования и перемножения, а также взятием дополнения (т. е. прогивоположного события).

Поэтому, выбирая произвольную точку с на отрезке [0, 1] и рассматривая последовательность отрезков вида мы обнаруживаем, что точка должна быть событием, так как она является, как легко видеть, счетным произведением отрезков Итак, любая точка отрезка [0, 1] — событие. Множество рациональных точек, как известно, складывается из счетного числа точек. Следовательно, это множество — тоже событие. Но множество иррациональных точек есть дополнение к множеству рациональных точек. Значит, и множество иррациональных точек — событие. Но вряд ли естественно, с физической точки зрения, считать наблюдаемыми следовательно, физически различимыми) событиями факты принадлежности точки к множеству рациональных и к множеству иррациональных чисел. Как видно из этого примера, и использование общепринятой сейчас аксиоматической концепции теории вероятностей может приводить к плохо физически интерпретируемым выводам. В данном примере мы не провели до конца построение вероятностного пространства, так как не определили (аксиоматически) способ вычисления вероятностей на отрезках, т. е. величин Физически естественное аксиоматическое задание этих вероятностей также обусловлено спецификой реального комплекса условий, характеризующих наш случайный эксперимент. Так, если представить, что мы находимся в самой «неблагоприятной» для прогноза ситуации (интересующее нас событие настолько удалено во времени и неопределенно или опрашиваемые эксперты настолько некомпетентны, что ответы экспертов оказываются приблизительно равномерно «разбросанными» по всей длине отрезка ), то естественно предположить, что вероятности будут зависеть только от длины отрезка и не будут зависеть от того, в каком именно месте отрезок располагается, и определить их соответственно с помощью соотношений

Легко проверить, что заданные этим соотношением вероятности удовлетворяют свойствам а) и б) аксиомы.

Подчеркнем, кстати, на этом примере одно из существенных отличий широкого класса непрерывных вероятностных пространств от дискретных: вероятность осуществления любого элементарного события (т. е. любого возможного исхода) со в данном примере равна нулю; однако для сколь угодно малого отрезка вероятность всегда будет положительной (это непосредственно следует из (4.20)). Таким образом, в этом примере мы впервые встретились с, казалось бы, парадоксальной ситуацией, когда события со хотя и являются возможными, но обладают нулевой вероятностью. Соответственно события являющиеся дополнением к событиям нулевой вероятности со, хотя и не могут быть названы достоверными, но имеют вероятность осуществления, равную единице. О событиях типа То часто говорят как о событиях, происходящих «почти всегда». При более глубоком рассмотрении можно понять, что подобные ситуации в непрерывном вероятностном пространстве на самом деле не являются парадоксальными. Для пояснения этой мысли можно привести аналогию с физическим телом, имеющим определенную массу, в то время как ни одна из точек, составляющих это тело, сама массой не обладает. Очевидно, тело в этой аналогии играет роль события, точка — роль элементарного исхода, а масса — роль вероятности.