7.3.2. Многомерная центральная предельная теорема.

Пусть — независимые и одинаково распределенные -мерные случайные величины с вектором средних значений и ковариационной матрицей Тогда при совместная функция распределения случайного вектора сходится (для любого значения векторного аргумента X) к совместной функции распределения -мерной нормальной случайной величины, имеющей вектор средних и ковариационную матрицу 2.

Замечание 1. Необходима известная осторожность при использовании центральной предельной теоремы в практике статистических исследований.

Во-первых, если предельный вид распределения суммы случайных слагаемых при определенных условиях всегда нормален и не зависит от вида распределения самих слагаемых, то скорость сходимости распределения суммы к нормальному закону существенно зависит от типа распределения исходных компонент. Так, например, при суммировании равномерно распределенных случайных величин уже при 6—10 слагаемых можно добиться достаточной близости к нормальному закону, в то время как для достижения той же близости при суммировании распределенных слагаемых понадобится более 100 слагаемых.

Во-вторых, центральной предельной теоремой вообще не рекомендуется пользоваться для аппроксимации вероятностей на «хвостах» распределения, т. е. при оценке вероятностей событий вида , где — возможные значения, близкие соответственно к левой и правой границам диапазона изменения исследуемого признака .

Поскольку в этом случае числовые значения вероятностей малы,то из малости разностей (которая вытекает из центральной предельной теоремы) вовсе не следует малость относительных ошибок аппроксимации

которые, как правило, оказываются чрезмерно большими. Так, например, пусть — нормированный среднедушевой доход в семье (соответственно — заработная плата работающих членов семьи и другие составляющие семейного дохода) и пусть нас интересует доля q семей с очень высоким доходом, а именно с доходом, не меньшим некоторого достаточно высокого уровня Исследования показали, что точное значение этой доли в то время как соответствующая нормальная аппроксимация дала результат Разность сама по себе мала (как и следует из центральной предельной теоремы), однако относительная погрешность нормальной аппроксимации в данном случае составляет десятикратную величину, т. е. 1000 %! Особенно важным это предостережение оказывается при попытках использования нормальных аппроксимаций в задачах расчета зависимостей типа «предельная прочность (или пропускная способность) системы — вероятность разрушения (отказа в обслуживании)».

Замечание 2. Центральная предельная теорема позволяет проследить асимптотические связи, существующие между различными модельными законами распределения (см. гл. 6), с одной стороны, и нормальным законом — с другой. Опираясь на центральную предельную теорему, можно объяснить, в частности, следующие полезные для статистической практики факты:

1. Распределение -биномиальной случайной величины асимптотически (по ) нормально с параметрами .

Данный результат известен как теорема Муавра — Лапласа (доказана впервые Муавром в 1733 г., когда еще не была известна центральная предельная теорема) и является прямым следствием центральной предельной теоремы, примененной к случайным величинам (7.4) с учетом (7.5).

2. Распределение Х-пуассоновской случайной величины асимптотически (по ) нормально с параметрами

3. Распределение, -гипергеометрическойслучай, ной величины асимптотически (по нормально с параметрами

4. Функция распределения нормированной -мерной -полиномиальной случайной величины

при стремится к функции распределения несобственного (вырожденного) -мерного нормального закона с вектором нулевых средних значений и с ковариационной матрицей

имеющей ранг, равный (см., например, «Приложение» в [12]).

5. Распределение случайной величины асимптотически (по ) нормально с параметрами

6. Распределение случайной величины асимптотически (по ) нормально с параметрами