Глава 6. МОДЕЛИ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, НАИБОЛЕЕ РАСПРОСТРАНЕННЫЕ В ПРАКТИКЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИИ

Говоря о распространенности той или иной модели распределения в практике статистических исследований, следует иметь в виду две возможные роли, которые эта модель может играть. Первая из них заключается в адекватном описании механизма исследуемого реального процесса, индуцирующего подлежащую статистическому анализу генеральную совокупность. В этом случае выбранная по тем или иным соображениям (или выведенная теоретически) модель описывает закон распределения вероятностей непосредственно анализируемой и имеющей четкую физическую интерпретацию случайной величины (заработной платы работника, дохода семьи, числа сбоев автоматической линии в единицу времени, числа дефектных изделий, обнаруженных в проконтролированной партии заданного объема, и т. д.). Подходы к построению таких моделей, методы их анализа и обоснования относятся к области «реалистического» (или содержательного) моделирования (см. гл. 3).

Другая роль широко распространенных в статистических исследованиях моделей — использование их как вспомогательное техническое средство при реализации методов статистической обработки данных. С помощью моделей этого типа описываются распределения вероятностей некоторых вспомогательных функций от исследуемых случайных величин, используемых для построения разного рода статистических оценок и статистических критериев (о способах построения оценок и критериев см. § 8.1-8.6, 9.1-9.6). К распределениям этого типа относятся в первую очередь распределения «хи-квадрат», Стьюдента (-распределение) и -распределение.

Зтой условной классификации распределений мы и будем придерживаться при изложении содержания данной главы.

6.1. Законы распределения, используемые для описания механизмов реальных процессов или систем

6.1.1. Распределения, возникающие при анализе последовательности испытаний Бернулли: биномиальное и отрицательное биномиальное.

Широкий класс случайных величин, которые приходится изучать в практике статистических исследований, индуцируется последовательностью независимых случайных экспериментов следующего типа:

в результате реализации каждого случайного эксперимента (наблюдения) некоторое интересующее нас событие А может произойти (с некоторой вероятностью ) или не произойти (соответственно с вероятностью при многократном (-кратном) повторении этого эксперимента вероятность осуществления события А остается одной и той же, а наблюдения, составляющие эту последовательность экспериментов, являются взаимно независимыми. Серию экспериментов подобного типа принято называть последовательностью испытаний Бернулли. Можно описать эту последовательность в терминах случайных величин, сопоставляя с по счету экспериментом данной последовательности случайную величину

Тогда «бернуллиевость» последовательности означает, что причем случайные величины статистически независимы (определение статистической независимости случайных величин см. в п. 5.5.3).

При определенных (как правило, приблизительно соблюдающихся на практике) условиях в схему испытаний Бернулли хорошо укладываются такие случайные эксперименты, как бросание монеты или игральной кости, проверка (по альтернативному признаку) изделий массовой продукции, обращение к «обслуживающему устройству» (с исходами «свободен — занят»), попытка выполнения некоторого задания исходами «выполнено — не выполнено»), стрельба по цели (с исходами «попадание — промах») и т. п.

«Единичное» испытание Бернулли можно интерпретировать и как извлечение объекта из бесконечной генеральной совокупности, в которой доля объектов обладает некоторым интересующим нас свойством. Тогда интересующее нас событие А заключается в том, что при этом извлечении мы «вытащим» один из объектов, обладающих упомянутым свойством.

Биномиальный закон описывает распределение случайной величины , т. е. числа появления интересующего нас события в последовательности из независимых испытаний, когда вероятность появления этого события в одном испытании равна .

Из определения биномиальной случайной величины следует, что ее возможными значениями являются все целые неотрицательные числа от нуля до . Для вывода вероятностей рассмотрим внимательнее пространство элементарных событий, порожденное последовательностью испытаний Бернулли. Очевидно, каждому элементарному событию соответствует последовательность из нулей и единиц длины

Разобьем эти последовательности на классы, включая в один класс все последовательности типа (6.2), содержащие одинаковое число единиц:

Имея в виду, что число элементарных событий в классе с номером равно (поскольку единиц можно разместить на местах различными способами), а также тот факт, что вероятность осуществления любого элементарного исхода, входящего в класс с номером равна, как нетрудно подсчитать, величине получаем

Это и есть формула (аналитическая запись, модель) биномиального закона распределения. Подсчет его основных числовых характеристик (который в данном случае легче реализовать, не используя прямые формулы типа (5.21), а опираясь на соотношение взаимную независимость h и простоту вычисления их моментов) дает:

Биномиальное распределение широко, используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и в других областях практической деятельности.

Отрицательный биномиальный закон описывает распределение случайной величины определяемой испытаниями Бернулли (см. (6.1)) следующим образом:

Другими словами, — это число испытаний в схеме Бернулли (с вероятностью появления интересующего нас события в результате проведения одного испытания) до появления интересующего нас события (включая последнее испытание). Нетрудно вывести аналитический вид распределения случайной величины . Зафиксируем любое ее возможное значение . Из того, что при числе испытаний впервые осуществилось заданное число k появлений интересующего нас события, следует, что на предыдущем шаге, т. е. при числе испытаний, равном мы имели появлений того же события.

Следовательно, опираясь на теорему умножения вероятностей, мы можем записать:

Название данного закона объясняется тем, что правые части (6.4) являются последовательными членами разложения бинома с отрицательным показателем:

Основные числовые характеристики закона:

Модель отрицательного биномиального распределения применяется в статистике несчастных случаев и заболеваний, в задачах, связанных с анализом количеств индивидуумов данного вида в выборках из биологических совокупностей, в задачах оптимального резервирования элементов, в теории стрельбы.