Однако эта формулировка нуждается в уточнениях: что значит «нормированная» сумма случайных величин и в каком именно смысле закон распределения одной случайной величины стремится к закону распределения другой? Существует несколько вариантов точных формулировок центральной предельной теоремы, отличающихся друг от друга степенью общности и видом постулируемых ограничительных условий. Мы приведем здесь формулировку Линдеберга и Леви.
случайных слагаемых все менее ощущается характерный для случайных величин неконтролируемый разброс в их значениях, так что в пределе по 
этот разброс исчезает вовсе или, как принято говорить, случайная величина вырождается в неслучайную. Однако при любом конечном числе слагаемых 
случайный разброс у среднего арифметического этих слагаемых остается. Поэтому возникает вопрос исследования (опять-таки асимптотического по 
) характера этого разброса. Фундаментальный результат в этом направлении (известный как «центральная предельная теорема») был рпервые сформулирован в упомянутом выше труде Лапласа (1812 г.), и заключался он в том, что для широкого класса независимых случайных величин 
предельный (по 
) закон распределения их нормированной суммы вне зависимости от типа распределения слагаемых стремится к нормальному закону распределения.
