Глава 7. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Выше изложены основные понятия теории вероятностей, включая набор моделей законов распределения, наиболее распространенных в теории и практике статистической обработки данных. Настоящая глава посвящена описанию некоторых связей, существующих между этими понятиями и моделями, а также отдельных их свойств, полезных для понимания сущности излагаемых далее методов вероятностно-статистического моделирования и первичной обработки данных.
7.1. Неравенство Чебышева
В п. 5.6.3 мы познакомились с основной характеристикой степени случайного разброса значений случайной величины — с ее дисперсией 
. Из смысла этой характеристики следует, что вероятность зафиксировать при наблюдении случайной величины 
значение, отклоняющееся от ее среднего 
не менее чем на заданную величину 
, должна расти с ростом 
. Чем больше величина дисперсии 
тем более вероятны значительные отклонения значений исследуемой случайной величины от своего центра группирования 
. Конечно, зная плотность (или полигон) распределения вероятностей 
можно точно вычислить вероятность событий вида 
, а именно
Так, например, если 
подчиняется 
-нормальному закону распределения, то вероятность событий вида 
зависит только от того, сколько раз в заданной величине отклонения А «уложится» среднеквадратическое отклонение 
Однако хотелось бы уметь оценивать вероятности таких событий, опираясь только на знание величины дисперсии не обращаясь к точному знанию закона распределения анализируемого признака Именно эта задача и решается с помощью неравенства, выведенного русским математиком П. Л. Чебышевым:
где 
Доказательство этого неравенства несложно:
случае дискретного признака доказательство проводится аналогично с заменой «элементов вероятностей» 
вероятностями 
, а интегралов — соответствующими суммами).
Из хода доказательствавидно, что если распределение исследуемого признака 
симметрично (относительно 
), то имеют место и односторонние аналоги неравенства:
Как и всякий общий результат, не использующий сведения о конкретном виде распределения случайной величины 
, неравенство Чебышева дает лишь грубые оценки сверху для вероятностей событий вида 
.
Так, например, если оценивать вероятность события 
для нормального признака 
не зная, что он подчиняется гауссовскому закону (т. е. используя неравенство Чебышева), то получим
Интересно сравнить эту величину с точным значением этой же вероятности, которое получается с помощью таблиц нормального распределения и равно 0,0027: мы видим, что точное значение вероятности в 40 (!) раз меньше ее грубой оценки, полученной на основании неравенства Чебышева.
