7.2.3 Статистическая устойчивость выборочных характеристик.

Закон больших чисел и теорема Я. Бернулли позволяют теоретически обосновать устойчивость основных эмпирических характеристик распределения — среднего значения, дисперсии, асимметрии, эксцесса, функции распределения и плотности, построенных по выборке

При этом, как всегда, когда речь идет об исследовании выборочных характеристик, мы, во-первых, подразумеваем, что имеем дело с выборкой, состоящей из независимых наблюдений, и, во-вторых, интерпретируем выборку во втором, гипотетическом смысле — как совокупность независимых наблюдений, которые могли бы быть произведены над анализируемой случайной величиной (см. сноску в п. 5.6.4). При такой интерпретации наблюдения суть независимые и одинаково распределенные случайные величины и к ним применимы результаты (7.3) и (7.3). Покажем, как из закона больших чисел и теоремы Я. Бернулли можно получить статистическую устойчивость основных выборочных характеристик.

а. Устойчивость выборочных начальных моментов и любых рациональных функций от них. Пусть существуют все моменты для заданного порядка исследуемой случайной величины . Тогда, применяя закон больших чисел к случайным величинам , где — результат наблюдения исследуемого признака, мы немедленно получаем доказательство сходимости по вероятности всех выборочных начальных моментов к соответствующим теоретическим моментам .

Непосредственно применить закон больших чисел к центрированным наблюдениям нельзя, так как после центрирования наблюдения становятся зависимыми.

Однако воспользовавшись теоремой Е. Е. Слуцкого о том, что из сходимости (при ) по вероятности случайных величин к некоторым постоянным числам следует сходимость по вероятности любой рациональной функции к ее значению в точке , т. е. к величине (если последняя существует), мы немедленно получаем доказательство сходимости по вероятности всех интересующих нас выборочных центральных моментов, асимметрии и эксцесса к соответствующим теоретическим значениям (если таковые существуют).

При этом, конечно, мы учитываем, что центральные моменты, асимметрия и эксцесс являются рациональными функциями от начальных моментов (см. соотношения (5.22)).

б. Устойчивость эмпирических функций распределения и плотности и относительных частот, т. е. их сходимость (при неограниченном увеличении объема выборки, по которой они построены) к соответствующим теоретическим функциям и вероятностям следует непосредственно из (7.3) и (7.3). Продемонстрируем это на примере эмпирической функции распределения . Введем в рассмотрение случайные величины (7.4), где событие А мы определяем как , т. е.

Очевидно, — независимые, одинаково распределенные случайные величины, причем , где — функция распределения исследуемой случайной величины 1.

Легко видеть, что , и, следовательно, в соответствии с законом больших чисел (по вероятности), когда