11.1.3. Критерий Колмогорова — Смирнова и его применение к построению доверительных границ для неизвестной функции распределения.

Критерий согласия Колмогорова — Смирнова позволяет осуществлять проверку гипотезы (11.2) в условиях, когда модельная функция известна полностью, т. е. не зависит от неизвестных параметров.

Статистики критерия Колмогорова — Смирнова и их распределения. Пусть — эмпирическая функция распределения. Введем следующие меры уклонения (расстояния) между функциями

Статистики — являются статистиками критериев Колмогорова и Смирнова соответственно. При этом

Для практического использования критерия Колмогорова— Смирнова статистики представляются в виде:

где т. е. это значение гипотетической функции распределения, взятой в точке вариационного ряда.

Для статистик известны точные распределения [74], [16]. Здесь приведем лишь распределение для :

где — целая часть числа

Для практических целей обычно достаточно предельных распределений статистик

где

Предельное распределение для статистики в точности совпадает с

Для предельного распределения статистики Колмогорова известен следующий факт [40]: если есть точное распределение статистики то при любом а максимальная ошибка от замены точного распределения на предельное для имеет порядок

Доверительные границы для функции распределения.

Поскольку распределение статистики Колмогорова свободно от неизвестного распределения генеральной совокупности и в качестве меры расстояния между используется максимальное отклонение, можно обратить процедуру проверки гипотезы согласия и использовать для установления доверительных границ для непрерывной функции распределения в целом [40]. Какова бы ни была истинная функция распределения имеем:

(11.10)

где — критическое значение при уровне значимости .

Таким образом, доверительная область представляет собой полосу вокруг выборочной функции распределения и с вероятностью истинная функция лежит целиком внутри этой полосы.

Используя этот результат, можно получить оценки объема выборки, необходимые для аппроксимации функции распределения с необходимой точностью.

Положим, например, . Тогда получаем, что при выборке объема с вероятностью 0,95 эмпирическая функция распределения отстоит повсюду от истинной не более чем на При это дает