6.3.2. Моделирование дискретных случайных величин.

Стандартный метод. Общий прием моделирования дискретной случайной величины принимающей значения с вероятностями основан на следующей очевидной формуле:

где для удобства записи положено , а — равномерно распределенная на отрезке [0, 1] случайная величина.

Предположим, что значения записаны соответственно в ячейках .

Программа (на Фортране) для нахождения значений случайной величины X в этом случае имеет вид:

В случае, когда вероятности связаны простыми рекуррентными соотношениями массив Р можно заранее не вводить, а вычислять значения в программе. Например:

а. Для биномиального распределения с параметрами

б. Для распределения Пуассона с параметром

а. Биномиальное распределение. Чтобы получить значения случайной величины X, имеющей биномиальное распределение с параметрами , можно также воспользоваться статистическим моделированием, а именно осуществить независимых реализаций равномерно распределенной случайной величины , и положить X равным числу случаев, когда Соответствующая программа (на Фортране) имеет вид:

б. Пуассоноеское распределение. Моделирование выборочных значений случайной величины X, имеющей пуассоновское распределение с параметром , также проводится методом прямого статистического моделирования и основывается на том, что X можно определить [63] как

Соответствующая программа (на Фортране) имеет вид:

Здесь — обращение к стандартной процедуре вычисления Формальный параметр заменяет К.

6.3.3. Моделирование непрерывных распределений. Рассмотрим сначала стандартный прием. Пусть случайная величина имеет функцию распределения Общий прием моделирования основан на том, что случайная величина имеет равномерное распределение, и, следовательно, случайная величина распределена как , где — функция, обратная к

В качестве примера рассмотрим случай, когда имеет показательное распределение, т. е. . Тогда может быть смоделировано как

или, поскольку одинаково распределены, как

Фортран-программа:

Моделирование одномерной нормальной случайной величины. Согласно центральной предельной теореме (см. п. 7.3.1) случайная величина

имеет приближенно нормальное распределение с параметрами 0 и 1.

Фортран-программа:

Формула (6.32) при часто используется для моделирования нормального закона в том случае, когда большие значения не играют существенной роли. Л. Н. Большевым для улучшения приближения предложена [15] нелинейная поправка для

Однако в том случае, когда исследователя интересуют большие отклонения или необходимо много реализаций нормального закона, можно воспользоваться точными формулами, требующими меньшего числа псевдослучайных чисел. В этом случае (-нормально распределенные случайные величины получаются попарно:

Формулы (6.33) основаны на известном свойстве, характерном для нормального закона и заключающемся в том, что если — независимые (-нормально распределенные случайные величины, то распределение величины угла между осью абсцисс и вершиной случайного вектора ) равномерное и не зависит от значения Квадрат длины вектора имеет в этом случае -распределение с двумя степенями свободы и моделируется как частный случай показательного распределения с

Моделирование невырожденного многомерного -нормального вектора.

Сначала с помощью одного из описанных выше методов моделируется вектор , где — независимые - нормально распределенные случайные величины, и далее с помощью преобразования , где А — треугольная матрица, такая, что находится вектор .