11.2.9. Критерии однородности многомерных нормальных совокупностей.

В многомерном случае гипотеза однородности формулируется аналогично одномерному случаю (11.14):

(11,58)

только аргумент X есть уже -мерная величина.

Выбор методов для проверки гипотезы (11.58) значительно более ограничен, чем в одномерном случае. По существу, имеются лишь параметрические критерии, которые основаны на предположении, что каждое из распределений является многомерным нормальным распределением. Как и в одномерном случае, некоторые из этих критериев, например устойчивы к отклонению распределений от нормального и, следовательно, могут применяться и к выборкам из негауссовских распределений.

Как известно (см. § 6.1), многомерное нормальное распределение полностью характеризуется вектором средних значений и матрицей ковариаций . Соответственно статистики критериев, рассматриваемых далее, являются функционалами от выборочных оценок этих параметров

В случае двух выборок критической статистикой критерия для проверки гипотезы однородности является величина [12]

(11.59)

При этом априори предполагается, что выборки извлечены из совокупностей с одинаковой ковариационной матрицей, т. е. и

(11.60)

В случае истинности нулевой гипотезы величина подчинена -распределению с и степенями свободы.

В случае нескольких выборок (т. е. при ) критерий их принадлежности к общей генеральной совокупности (в предположении равенства ковариационных матриц) основан на -статистике Уилкса [71]:

где — оценка матрицы ковариаций общей генеральной совокупности,

— матрица ковариаций, оцененная по выборке, полученной объединением всех k выборок, а М — вектор средних значений такой объединенной выборки.

В терминах дисперсионного анализа матрица S называется матрицей внутригруппового разброса, матрица — матрицей межгруппового разброса, а матрица — полной матрицей разброса. Можно показать, что когда величина равна:

т. е. является монотонной функцией статистики и, значит, в случае использование обоих критериев и приведет к одинаковым результатам.

Значение заключено в пределах 1, и если верна нулевая гипотеза, то значение должно быть близким к 1. Существенно меньшее, чем 1, значение указывает на неоднородность, т. е. нулевая гипотеза должна отвергаться. Однако точное распределение очень сложно и на практике пользуются статистиками, которые являются некоторыми функциями от .

Это, во-первых, статистика, предложенная Бартлеттом [71]:

(11.61)

Распределение в случае нулевой гипотезы аппроксимируется -распределением с степенями свободы.

Другой статистикой, использование которой при малых объемах выборок предпочтительнее, будет статистика, предложенная

(11.62)

распределение которой в случае нулевой гипотезы аппроксимируется -распределением с степенями свободы. Величины не обязательно целые и вычисляются по формулам

Для обеих статистик критической является область больших значений. Как и в одномерном случае, «слишком большие» значения критериев (11.59), (11.61), (11.62) могут возникнуть из-за нарушения условия равенства ковариационных матриц, хотя при этом средние значения отличаются незначимо. Для проверки гипотезы

Используется статистика [12]

(11.63)

где

В случае справедливости она асимптотически имеет -распределение с степенями свободы. Методология применения критерия (11.63) такая же, как критерия равенства дисперсий (11.56) в одномерном случае. В одномерном случае статистика (11.63) совпадает со статистикой (11.56).