6.1.2. Гипергеометрическое распределение.

В одном из вариантов интерпретации биномиальной случайной величины мы рассматривали бесконечную генеральную совокупность, доля объектов которой обладает некоторым интересующим нас свойством. Тогда означает число объектов, обладающих этим свойством среди объектов, случайно извлеченных из данной генеральной совокупности. Гипергеометрическую случайную величину можно считать модификацией биномиальной случайной величины приспособленной к случаю конечной генеральной совокупности, состоящей из N объектов, среди которых имеются М объектов с интересующим нас свойством. Иначе говоря, — это число объектов, обладающих заданным свойством среди объектов, случайно извлеченных (без возвращения) из совокупности N объектов, М из которых обладают этим свойством.

Очевидно, возможными значениями случайной величины будут все целые неотрицательные числа от до Для вывода аналитического вида ее закона распределения подсчитаем вероятность события как отношение числа всевозможных выборок объема , приводящих к осуществлению этого события (числа «благоприятных» исходов), к общему числу способов, которыми можно выбрать объектов из N (к числу всех возможных исходов). Очевидно, каждому набору из объектов с заданным свойством соответствует способов, которыми можно отобрать остальные объектов из числа объектов, не обладающих этим свойством. А поскольку такие наборы из объектов с заданным свойством можно сформировать См различными способами, то общее число «благоприятных» (для события ) исходов будет Учитывая, что число всех возможных исходов, т. е. всех возможных способов, которыми можно извлечь объектов из N предложенных, равно получаем

Этот закон широко используется в практике статистического приемочного контроля качества промышленной продукции, а также в различных задачах, связанных с организацией выборочных обследований.

Его основные числовые характеристики:

где

При правая часть (6.5) стремится, как и следовало ожидать, к выражению для биномиального закона распределения (6.3), и соответственно среднее значение, дисперсия, асимметрия и эксцесс гипергеометрического распределения сходятся к аналогичным числовым характеристикам биномиально распределенной случайной величины (что легко устанавливается с помощью соответствующего предельного перехода).