98. Линейные функционалы.

Рассмотрим вещественное пространство X типа В (элементы X умножаются лишь на вещественные числа). Функционалом в X называется оператор, область значений которого находится в пространстве вещественных чисел. Последнее есть вещественное пространство типа В при обычном определении сложения вещественных чисел и их умножения на вещественное число. Норма — абсолютное значение вещественного числа [87].

Все сказанное в [97] об операторах справедливо и для функционалов. Ограниченность функционала определяется неравенством

где абсолютное значение вещественного числа норма . Линейный функционал — частный случай линейного оператора. При этом совпадает со всем X.

Теорема 1. Если на некотором линеале U задан дистрибутивный ограниченный функционал то его можно распространить на все X так, что будет в X линейным функционалом с той же нормой, что и в

По условию, кроме дистрибутивности имеем

где норма в U. При доказательстве будем считать, что пространство X сепарабельно, что упростит рассуждения. Но теорема верна и для несепарабельных пространств.

В силу сепарабельности, существует счетное множество элементов, плотное в X. Оставим в этом счетном множестве лишь элементы, не принадлежащие U. Если таких элементов не будет, то U повсюду плотно в X, и мы можем продолжить по непрерывности на всем противном случае оставшиеся элементы счетного множества можно также пронумеровать: .

Рассмотрим множество элементов вида: где у — любой элемент U и t — любое вещественное число. Нетрудно видеть, что есть, как и линеал. Покажем, что представление в указанном виде единственно. Нели имеет два различных представления:

то в этих представлениях ибо если то и Покажем, что неравенство приведет нас к нелепости. Из (52) имеем откуда следует, что а это противоречит сказанному выше. Возьмем теперь два любых элемента из U и установим одно неравенство. Имеем

Отметим, что если слева стоит отрицательное число, то неравенство тривиально. Принимая во внимание, что получим, в силу

Взяв точную нижнюю границу множества чисел, стоящих справа, и точную верхнюю границу для левой части, когда независимо пробегают все U, получим

причем правая часть, очевидно, конечна, а, следовательно, и левая. Таким образом, существует вещественное число удовлетворяющее неравенству

Распространим теперь на . Пусть любой элемент Положим

где а — фиксированное вещественное число, удовлетворяющее неравенству (54). Если то совпадает с т. е. формула (55) определяет на функционал, совпадающий с прежним на U. Поэтому мы сохранили для расширенного функционала прежнее обозначение. Дистрибутивность непосредственно следует из (55), дистрибутивности на U и формул

Покажем наконец, что норма не больше, чем и (понизиться она не может). Будем считать Принимая во внимание, что причем получим

Но из (54) следует

и заменяя в (56) а меньшим числом, стоящим в правой части этого неравенства, получим

Переходим к случаю . Из (54) следует

и, заменяя в (56) в разности а число а большим, получим

Умножая обе части этого неравенства на отрицательное t и принимая во внимание (56), получим Если то и написанное неравенство очевидно. Таким образом, при всяком имеем Меняя в этом неравенстве на и принимая во внимание, что получим Эти два неравенства приводят нас окончательно к неравенству

из которого и следует, что при указанном распространении из U на U! норма остается прежней.

Переходим теперь к дальнейшему распространению. Если элемент из указанной выше последовательности принадлежит то отбрасываем его. Если же нет, то распространяем как и выше, с линеала на линеал состоящий из элементов где у — любой элемент и t — любое вещественное число. Продолжая так и дальше, удержим прежнее обозначение для элементов, которые не отбрасывались при указанном выше построении (их может быть и конечное число). Таким путем мы продолжим на линеал V элементов, имеющих вид

где у — любой элемент U — любое целое положительное (не большее числа элементов если это число конечно) и любые вещественные числа. Этот линеал V плотен в В, и на нем функционал дистрибутивен, ограничен и с нормой Теперь остается продолжить на все X по непрерывности. Теорема доказана.

Для случая комплексного пространства типа В доказательство теоремы 1 имеется, например, в работе Г. А. Сухомлинова (Матем. сб., 3, 1938 г.) и в книге Ф. Рисса и Б. Секефальви-Надя „Лекции по функциональному анализу".

Доказанная теорема не распространяется на операторы.

Теорема 2. Если какой-либо фиксированный элемент X, отличный от нулевого, то существует линейный функционал с нормой единица такой, что

Рассмотрим линеал U элементов вида где t — любое вещественное число, и определим по U дистрибутивный функционал формулой . При имеем По теореме 1 мы можем распространить на все X с сохранением нормы, и теорема доказана. Из нее вытекает, между прочим, что во всяком пространстве типа В существуют функционалы с положительной нормой.

Отметим, что теорема справедлива и в том случае, когда есть нулевой элемент. Достаточно взять какой-либо элемент отличный от , и образовать по теореме линейный функционал такой, что Для него

Сопряженные пространства. Рассмотрим пространство X, элементы которого суть всевозможные линейные функционалы в пространстве X типа В. Функционалы в т. е. вещественные числа, соответствующие элементам обозначаются через . Как элементы X мы будем их обозначать одной буквой: . Пространство X есть линейное пространство. Сложение и умножение функционалов на число вводятся следующим естественным образом:

причем выполнены все свойства из аксиомы А. Нулевой элемент есть функционал аннулирования, т. е. такой, что для любого . Норма I элемента X принимается равной норме соответствующего функционала. Эта норма О, причем имеет место только для функционала аннулирования. Имеют место и два других свойства аксиомы С.

Второе вытекает из неравенств а третье очевидно. Докажем, что X — полное пространство. Пусть имеется сходящаяся в себе последовательность элементов X:

Надо доказать, что существует такой элемент что при Обозначим Мы имеем в СИЛУ (58) существует такое что при Фиксируя получаем при а среди конечного числа неотрицательных чисел имеется наибольшее. Таким образом, из (58) следует, что существует такое что при всех значках . Мы имеем далее и из (58) следует, что при и любом выборе . В силу признака Коши (для чисел) существует предел последовательности чисел Этот предел, который мы обозначим есть некоторый функционал, определенный во всем X. Покажем, что он есть линейный функционал. Его дистрибутивность вытекает из равенств: , а ограниченность — из неравенства , т. е. путем предельного перехода при . Таким образом, есть линейный функционал в X, т. е. Остается доказать, что При любом в 0, в силу (58), существует такое что при Переходя к пределу при получим при т. е. , при что и дает Полнота А доказана. Т аким образом, пространство X есть пространство типа В. Оно называется сопряженным с X.

Введем второе сопряженное пространство элементы которого суть всевозможные линейные функционалы в X. Пространство X получается из X совершенно так же, как А из X, и А есть пространство типа В.

Если мы фиксируем то любому элементу будет соответствовать определенное вещественное число при фиксированном и изменении I в X есть функционал в X. Обозначим его символом Из следует дистрибутивный функционал в X.

Из неравенства

в силу следует

где норма норма I в Из следует, что норма функционала не больше т. е. он ограничен в Итак, есть линейный функционал в X. Если есть нулевой элемент X, то для любого есть нулевой элемент А. Из (60) следует, что норма не больше Но в силу теоремы 2 из [98] при любом существует такой функционал что и

. Для такого I обе части (60) равны и имеет место знак откуда следует, что норма равна Далее из следует, что и вообще . В частности, откуда, в силу сказанного выше о норме, следует: а отсюда следует, что различным соответствуют различные элементы пространства А.

Из предыдущего вытекает следующее важное утверждение:

Теорема. Всякому элементу можно сопоставить элемент При этом соответствии: различным х соответствуют различные сложению и умножению на число в X соответствуют те же операции для соответствующих элементов в X, и нормы соответствующих элементов в X и одинаковы.

Это утверждение дает возможность отождествить т. е. погрузить X в что записываем в виде Иными словами, X изометрично части А.

Мы увидим дальше, что в некоторых случаях X изометрично всему X, т. е. Такое пространство X называется регулярным. Часто вместо пользуются обозначением или :

и называют внутренним произведением элемента на элемент . Элементы I их называют ортогональными, если

Неравенство (59) записывается в виде;

из сказанного выше следует:

где а и b — любые вещественные числа.

До сих пор мы рассматривали вещественные пространства типа В. Все сказанное выше сохраняется и для комплексных пространств типа В (умножение элементов на любые комплексные числа). В этом случае и функционалы могут принимать любые комплексные значения. В дальнейшем через а мы, как и раньше, будем обозначать число комплексное, сопряженное с Отметим, что если есть линейный функционал в В, то есть также ограниченный в но не линейный функционал, ибо умножается на с при умножении на комплексное число с. Сопряженное пространство X определяется не как множество всех а как множество всех

Сложение элементов X и умножение на комплексное число есть

обычное сложение и умножение комплексных чисел. Норма берется равной при этом и число нельзя заменить меньшим. Пространство — X типа В. Внутренние произведения определяются формулами

При этом для любых комплексных а и b

Пространство имеет ту же связь с X, что и в случае вещественного пространства.