96. Слабый и сильный экстремум.
Говорят, что экстремаль 
дает слабый экстремум интегралу (191), если она дает экстремум (минимум или максимум) этому интегралу по сравнению со всеми кривыми 
расположенными в ее 
-окрестности первого порядка [72], т. е. со всеми кривыми, достаточно близкими к ней по ординате и по угловому коэффициенту касательной
Если же экстремаль дает экстремум интегралу (191) по сравнению со всеми кривыми, близкими только по ординате, т. е. только 
, то говорят, что экстремаль дает сильный экстремум интегралу. Очевидно, что всякий сильный экстремум является и слабым экстремумом. Обратное утверждение не всегда справедливо. Докажем следующую теорему:
Теорема. Усиленные условия Лежандра и Якоби достаточны для того, чтобы экстремаль давала слабый экстремум интегралу (191).
Напомним, что функция 
считается непрерывной вместе с ее производными до второго порядка в некоторой области В плоскости 
и при любых значениях 
Считается, что исследуемая экстремаль функционала
находится внутри В. Пусть 
функция с непрерывной производной в промежутке 
равной нулю на его концах. Рассмотрим разложение разности
по формуле Тейлора до производных второго порядка и в результате положим 
где
значение соответствующих производных при аргументах 
. В силу непрерывности производных второго порядка от F можно записать 6 в виде
где
Принимая во внимание, что для экстремали
и приводя второе слагаемое правой части (212) к виду (194), получим
Оценим интеграл от 
через интеграл от 
. По неравенству Буняковского
откуда
Оценим теперь величину 
. В силу неравенства Коши
Принимая во внимание (215) и то, что при любом заданном 
существует такое 
что 
при 
, получим:
откуда
и, принимая во внимание (210), получаем
откуда и следует, что
если 
обладает указанными выше свойствами и не равно тождественно нулю. Теорема о слабом минимуме доказана.
Можно показать, что если выполнены усиленные условия Лежандра и Якоби и, кроме того, 
положительно для всякого конечного значения 
в некоторой области, содержащей экстремаль 
внутри, то эта экстремаль дает сильный минимум. Это связано с теорией поля экстремалей, на которой мы кратко остановимся в [98].
Отметим еще, что если на экстремали соблюдено усиленное условие Лежандра, но решение 
уравнения (200), удовлетворяющее условиям (202), имеет корни внутри 
то эта экстремаль не дает минимума интегралу (191).
