§ 2. Канонические уравнения (уравнения Гамильтона)

Начнем с простейшего примера. Рассмотрим материальную точку, движущуюся в стационарном потенциальном поле. В качестве обобщенных координат возьмем декартовы координаты движущейся точки

Кинетическая энергия этой системы равна

а функция Лагранжа равна . Следовательно, в этом примере

Таким образом, в рассматриваемом простейшем примере частные производные, фигурирующие в первых членах уравнений Лагранжа, имеют простой физический смысл — они совпадают с проекциями количества движения (импульса) точки на оси х, у и z.

Имея это в виду, условимся и в общем случае составленные так частные производные называть обобщенными импульсами и введем обозначение

Используя это обозначение, уравнения Лагранжа для произвольной системы, движущейся в потенциальном поле, можно записать так:

Лагранжиан L является функцией координат q, скоростей , а в нестационарном случае также и времени. Поэтому и обобщенные импульсы являются, вообще говоря, функциями тех же переменных

В силу соотношений (7) частная производная от импульса по какой-либо обобщенной скорости имеет вид

В случае натуральной системы

и поэтому

Определитель матрицы, составленный из коэффициентов , отличен от нуля в силу основной теоремы лагранжева формализма,

В случае ненатуральной системы неравенство (11) выполнено в силу ограничений, накладываемых на выбор лагранжиана L. В силу (11) система равенств (9) может быть всегда разрешена относительно обобщенных скоростей, т. е. представлена в виде

Таким образом, если в некоторый момент известны обобщенные координаты и обобщенные скорости, то по формулам (9) можно подсчитать обобщенные импульсы. Наоборот, если в некоторый момент известны обобщенные координаты и обобщенные импульсы, то по формулам (12) всегда можно подсчитать обобщенные скорости. В этом смысле безразлично, задавать ли в каждый момент помимо обобщенных координат обобщенные скорости или обобщенные импульсы.

Совокупность обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени называют лагранжевыми переменными некоторой системы, а совокупность для этой же системы обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени — ее гамильтоновыми переменными. Задания движения системы в лагранжевых и гамильтоновых переменных эквивалентны в том смысле, что всегда существует взаимно однозначный переход от одной системы переменных к другой.

Рассмотрим теперь произвольную функцию от лагранжевых переменных, и используя соотношения (12), выразим обобщенные скорости через обобщенные импульсы:

Полученная таким образом функция гамильтоновых переменных называется союзным выражением для исходной функции лагранжевых переменных и обозначается так:

Рассмотрим теперь выражение

как функцию «смешанных переменных» q, , p и t и подсчитаем его дифференциал

Используя формулы (7), перепишем это равенство так:

Обратим теперь внимание на выражение, стоящее в левой части этого равенства под знаком полного дифференциала. Выражение, союзное к этому, является функцией гамильтоновых переменных, обозначается буквой H и называется функцией Гамильтона или гамильтонианом системы

Понятие гамильтониана является одним из центральных понятий при изучении движения в потенциальных полях. С этим понятием нам предстоит иметь дело на протяжении всей главы.

В связи с тем, что при переходе к новым переменным значение полного дифференциала функции не меняется, левая часть равенства (14) численно равна , и поэтому

С другой стороны, полный дифференциал от гамильтониана как функции гамильтоновых переменных имеет вид

Почленно сравнивая формулы (16) и (17), получаем систему уравнений

и, кроме того, равенство

Эти соотношения получены нами как формальное следствие перехода к новым переменным; в частности, не было поставлено условие, чтобы обобщенные координаты q удовлетворяли уравнениям Лагранжа. Потребуем теперь, чтобы это условие выполнялось; тогда уравнения (18) будут представлять собой уравнения движения и в силу уравнений Лагранжа (8) могут быть записаны так:

В правых частях уравнений (20) стоят функции только гамильтоновых переменных. Поэтому система уравнений (20) замкнута относительно этих переменных и представляет собой систему дифференциальных уравнений первого порядка, которые полностью определяют изменение во времени координат q и обобщенных импульсов p, если заданы начальные условия, т. е. значения координат и импульсов в момент . Если заданы начальные значения лагранжевых переменных, то, используя формулы (9), можно подсчитать начальные значения обобщенных импульсов, получить таким образом начальные данные для уравнений (20), и, проинтегрировав эту систему уравнений, полностью определить движение в гамильтоновых переменных. Зная, как изменяются во времени координаты и обобщенные импульсы, можно затем, если это необходимо, по формулам (12) подсчитать, как изменяются во времени скорости .

В этом смысле уравнения (20) представляют собой эквивалент уравнений Лагранжа (4). Уравнения (20) разрешены относительно старших производных и представлены в симметричной и удобной форме. Их называют каноническими уравнениями или уравнениями Гамильтона для движения в потенциальных полях.

Равенство (19), полученное нами дополнительно, устанавливает важные свойства гамильтониана: частные производные гамильтониана и лагранжиана по времени отличаются лишь знаком. Отсюда сразу следует, что в том случае, когда лагранжиан не зависит явно от времени, гамильтониан также не зависит явно от времени.

Выясним теперь физический смысл гамильтониана H натуральной системы.

Интересуясь лишь численным значением гамильтониана, можно записать его как функцию лагранжевых переменных

Ограничиваясь теперь рассмотрением натуральных систем и вспоминая, что лагранжиан, как и кинетическая энергия натуральной системы, может быть представлен суммой трех форм — квадратичной , линейной и нулевой степени относительно скоростей , перепишем равенство (21) так:

. Воспользуемся теоремой Эйлера об однородных функциях, утверждающей, что если — однородная функция степени, то

В силу этой теоремы

так

Но , следовательно,

Если рассматриваемое преобразование от «исходной» декартовой системы координат к «новым» координатам стационарно, т. е. не зависит явно от времени, то и функция H равна полной энергии:

Таким образом, у натуральной системы при стационарных преобразованиях координат в любой момент времени гамильтониан численно совпадает с полной энергией системы.

Если V не зависит явно от , т. е. если система консервативна, то Е, а значит и H, не изменяется во время движения.

Рассмотрим теперь произвольную систему, натуральную либо ненатуральную, у которой гамильтониан не зависит явно от времени.

В системах такого рода

но в силу уравнений Гамильтона (20)

и если , то и , т. е. во время движения гамильтониан не меняется:

(25)

В тех случаях, когда система не консервативна, но имеет место равенство (24), формула (25) устанавливает интеграл уравнений движения, подобный интегралу энергии в натуральных консервативных системах. Поэтому при выполнении условия (24) гамильтониан называется обобщенной энергией, а утверждение (25) — обобщенным законом сохранения энергии. Системы, удовлетворяющие условию (24), далее называются обобщенно консервативными системами.

В заключение этого параграфа обратим внимание на следующую важную аналогию. Если , то и, следовательно, в этом случае . Если же , то . В этом смысле обобщенную энергию H можно рассматривать как «импульс для координаты h. В канонических уравнениях Гамильтона время t выступает в роли независимой переменной, оно еще «не уравнено в правах» с координатами . Далее в этой главе, рассматривая интегральные инварианты, мы полностью исключим особую роль «координаты по сравнению с q, и тогда подмеченная выше аналогия и роль H как «импульса для координаты станут еще более очевидными.