§ 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих задач требуется найти функции которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих аргумент искомые функции и их производные.

Рассмотрим систему уравнений первого порядка

где искомые функции, аргумент.

Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.

Проинтегрировать систему — значит определить функции удовлетворяющие системе уравнений (1) и данным начальным условиям

Интегрирование системы вида (1) можно произвести следующим образом.

Дифференцируем по первое из уравнений (1):

Заменяя производные их выражениями из уравнений (1), будем иметь уравнение

Дифференцируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, найдем

Продолжая далее, таким же образом получим, наконец, уравнение

Итак, мы получаем следующую систему:

Из первых уравнений определим выразив их через и производные (предполагается, что эти операции выполнимы):

Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (3), получим уравнение порядка для определения

Решая это уравнение, определим

Дифференцируя последнее выражение раз, найдем производные как функции от Подставляя эти функции в уравнение (4), определяем

Для того чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям (2), остается лишь найти из уравнений (6) и (7) соответствующие значения постоянных (подобно тому, как мы это делали в случае одного дифференциального уравнения).

Замечание 1. Если система (1) линейна относительно искомых функций, то и уравнение (5) будет линейным.

Пример 1. Проинтегрировать систему

при начальных условиях

Решение. 1) Дифференцируя по первое уравнение, будем иметь

Подставляя сюда выражения и уравнений (а), получим

или

2) Из первого уравнения системы (а) находим

и подставляем в только что полученное уравнение; получаем или

Общее решение последнего уравнения есть

и на основании

Подберем постоянные так, чтобы удовлетворялись начальные условия (б): . Тогда из равенств (е) и получаем

откуда Таким образом, решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (б), имеет вид

Замечание 2. В приведенных рассуждениях мы предполагали, что из первых уравнений системы (3) можно определить функции . Может случиться, что переменные исключаются не из , а из меньшего числа уравнений. Тогда для определения у мы получим уравнение, порядок которого ниже .

Пример 2. Проинтегрировать систему

Решение. Дифференцируя по t первое уравнение, находим

Исключая переменные из уравнений

будем иметь уравнение второго порядка относительно

Интегрируя это уравнение, получим его общее решение

Отсюда находим

Подставляя в третье из заданных уравнений найденные выражения для получим уравнение для определения х

Интегрируя это уравнение, найдем

Но тогда на основании уравнений получаем

Уравнения дают общее решение заданной системы.

В дифференциальные уравнения системы могут входить производные высших порядков. В этом случае получается система дифференциальных уравнений высших порядков.

Так, например, задача о движении материальной точки под действием силы F сводится к системе трех дифференциальных уравнений второго порядка. Пусть - проекции силы F на оси координат. Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами . Следовательно, являются функциями от Проекции вектора скорости точки на оси координат будут

Предположим, что сила F, а следовательно, и ее проекции зависят от времени положения х, у, z точки и от скорости движения точки, т. е.

Искомыми функциями в этой задаче являются три функции

Эти функции определяются из уравнений динамики (закон Ньютона)

Получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае плоского движения, т. е. движения, когда траекторией является плоская кривая (лежащая, например, в плоскости Оху), получаем систему двух уравнений для определения функций

Решать систему дифференциальных уравнений высших порядков можно путем сведения ее к системе уравнений первого порядка. На примере уравнений (9) и (10) покажем, как это делается. Введем обозначения

Тогда

Система двух уравнений второго порядка (9), (10) с двумя искомыми функциями заменяется системой четырех уравнений первого порядка с четырьмя искомыми функциями

Заметим в заключение, что рассмотренный нами общий прием решения системы может быть в некоторых конкретных случаях заменен тем или иным искусственным приемом, быстрее приводящим к цели.

Пример 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Дифференцируем по два раза обе части первого уравнения:

Но , поэтому получаем уравнение четвертого порядка — Интегрируя это уравнение, получим его общее решение (см. § 22, пример 4)

Находя отсюда и подставляя в первое уравнение, найдем