§ 7. Комплексное пространство

Пополнение трехмерного пространства мнимыми элементами — мнимыми точками и мнимыми векторами — происходит совершенно аналогично введению мнимых точек и векторов на плоскости (см. § 4). Предполагается, что в обыкновенном («вещественном») трехмерном пространстве дана произвольная аффинная система координат . Это позволяет каждую точку М пространства отождествить с тройкой вещественных чисел, ее координат:

После этого мы всякую тройку х у, z комплексных чисел также объявляем <комплексной» точкой пространства, а сами комплексные числа х, у, z — называем координатами точки М в координатной системе . Множество всех комплексных точек образует комплексное трехмерное пространство. Все вновь присоединенные точки, т. е. все точки которых хотя бы одна из трех координат является невещественным числом, называются мнимыми точками комплексного трехмерного пространства.

Упорядоченная пара точек комплексного пространства называется вектором, приложенным к точке (или закрепленным в ней). Комплексные числа называются координатами закрепленного вектора. Два вектора равны, если соответственно равны их координаты. Классы равных между собою векторов называются свободными векторами-, они взаимно однозначно соответствуют тройкам комплексных чисел х, у, z — тройкам координат всевозможных закрепленных векторов, являющихся элементами данного класса. Свободные векторы обозначаются так:

Линейные операции — сложения векторов и умножения вектора на комплексное число — определяются так же, как и в случае плоскости, т. е. «покоординатно», только координат сейчас три, а не две, в этом вся разница. Автоматически вводится и исследуется также и понятие линейной независимости векторов.

Как и в случае точек, мы называем вещественными лишь те векторы которых все три координаты суть вещественные числа. Все остальные векторы называются мнимыми.

Существенно отметить, что в комплексном пространстве, так же как и в комплексной плоскости, мы рассматриваем наряду с основной системой координат (введенной при самом определении комплексного пространства) и другие системы координат но всегда лишь вещественные; это значит, что и новое начало О есть вещественная точка пространства и векторы суть вещественные векторы. Поэтому переход от одной координатной системы к другой задается формулами линейного преобразования, все коэффициенты в которых суть вещественные числа. Словом, все происходит так, как в случае плоскости, с единственной разницей, что вместо размерности теперь имеем .

Прямая в комплексном пространстве задается, так же как и в вещественном, своим параметрическим уравнением, т. е. точкой и направляющим вектором , которые могут быть произвольными комплексными точкой и вектором. Плоскость определяется уравнением первой степени (или параметрическим уравнением); эквивалентность этих обоих способов задания плоскости и вообще основные теоремы §§ 1—6 главы X сохраняются и в случае комплексного пространства.

Вещественной поверхностью мы называем такую алгебраическую поверхность, которая задается уравнением

с вещественными коэффициентами.

Замечание. Определенное в этой главе «комплексное» пространство следовало бы называть комплексным пространством с выделенным. в нем вещественным подпространством (которое переходит в себя при всех аффинных преобразованиях с вещественной матрицей С, никаких других мы, как неоднократно упоминалось, рассматривать не будем). Такое же замечание можно сделать, разумеется, и о комплексной плоскости. Аналогично можно было бы определить и -мерное комплексное пространство с выделенным в нем вещественным подпространством.

Однако можно было бы определить и просто комплексное (векторное и точечно-векторное) -мерное пространство дословно так же, как мы определяли в главах XII и XIV соответственные вещественные пространства, но допуская (в аксиоматических определениях § 1 главы XII) умножение векторов на любое комплексное число и сохраняя все аксиомы, которым это умножение подчинено. Но в этих лекциях мы будем пользоваться лишь определениям и, приведенными в настоящей главе.