§ 6. Главные направления

В этом параграфе и до конца главы рассматриваются лишь прямоугольные системы координат.

Пусть дана поверхность второго порядка своим уравнением

относительно некоторой прямоугольной системы координат .

Обозначим через квадратичную функцию, записывающуюся в этой системе координат в виде формы

Направление называется главным, если оно перпендикулярно ко всем сопряженным ему направлениям. В частности, всякое особое направление (если оно существует у поверхности ) главное, потому что сопряжено всякому направлению, в том числе и всякому направлению, ему перпендикулярному.

Замечание 1. Так как понятие сопряженности двух направлений относительно данной поверхности не зависит от выбора тон или иной системы координат, то не зависит от этого выбора и понятие главного направления.

Замечание 2. Пусть — неособое направление, перпендикулярное к каким-нибудь двум сопряженным ему направлениям. Тогда направление перненднкулярно к сопряженной ему диаметральной плоскости и, следовательно, является главным.

Итак, для того чтобы направление было главным, достаточно разумеется, необходимо), чтобы оно было перпендикулярным к двум сопряженным ему направлениям.

Пусть направленно главное. Если оно особое,

Если главное, но не особое направление, то оно перпендикулярно к сопряженной ему диаметральной плоскости

и тогда вектор коллипеарен нормальному вектору плоскости, т. е.

при некотором .

Итак, какова бы была прямоугольная система координат, относительно которой поверхность задана своим уравнением (1), всякое главное направление удовлетворяет уравнениям (2), причем для особых направлений имеем а для неособых Обратно всякое направление удовлетворяющее уравнениям (2), есть главное направление, особое, если (и только в этом случае).

Следовательно, вопрос о нахождении главных направлений есть вопрос о нахождении ненулевого вектора удовлетворяющего системе уравнений (2) при некотором , равном нулю или нет. Переписываем эту систему уравнений в виде

Она тогда и только тогда имеет ненулевое решение, когда

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением квадратичной формы и выражаемой ею квадратичной функции ; левой частью этого уравнения является многочлен третьей степени; многочлен этот называется характеристическим многочленом., а корни его — характеристическими числами функции и формы

Многочлен , очевидно, есть дискриминант квадратичной формы

Этот многочлен является ортогональным инвариантом. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что при переходе от одного ортонормального базиса к другому форма переходит в форму и, следовательно, форма переходит в форму

Из доказанной таким образом ортогональной инвариантности многочлена вытекает следующее утверждение:

Если при переходе от прямоугольной системы координат к новой, тоже прямоугольной системе координат , квадратичная форма преобразуется в квадратичную форму

то при любом к

Так как характеристический многочлен не зависит от выбора той или иной прямоугольной системы координат, то то же справедливо для его корней, характеристических чисел формы , они вполне определены самой квадратичной функцией .

Уравнения (2) суть не что нное, как уравнения, определяющие особые направления формы Поэтому главные направления формы — это особые направления формы . Отсюда мы снова выводим, что главные направления не зависят от выбора системы координат; для их определения можно написать уравнения (2), пользуясь при этом любой прямоугольной координатной системой.

Переходим к доказательству основного факта:

I. Для каждой квадратичной формы существует прямоугольная система координат , в которой форма принимает канонический вид

Доказательство. Многочлен — третьей степени; поэтому по крайней мере один из корней является вещественным; пусть это будет, например, . Этому корню соответствует вещественное главное направление, и мы можем с самого начала предположить, что ось z исходной координатной системы имеет именно это направление; тогда ортом его является вектор и уравнения (2) должны удовлетворяться, если в них подставить так что имеем

т.е. избранной системе координат квадратичная функция записывается в виде формы

Как известно из главы XVI, § 1, можно поворотом координатной системы в ее плоскости (вокруг точки О) на некоторый угол и перевести ее в такую систему в которой квадратичная форма примет канонический вид . Этот поворот можно рассматривать как поворот всего пространства вокруг (остающейся неподвижной) оси z на тот же угол а. В результате получаем прямоугольную координатную систему , в которой функция записывается в виде

Утверждение I доказано.

Заметим, что если бы не только ось z, но и оси х и у имели главные направления, то и векторы удовлетворяли бы уравнениям (2), откуда следовало бы, что и .

II. Если оси прямоугольной системы координат имеют главные направления относительно квадратичной функции , то в такой системе координат функция непременно имеет канонический вид:

Докажем теперь следующее утверждение

III. Если в какой-нибудь прямоугольной системе координат квадратичная функция имеет канонический вид (4), то коэффициенты А, В, С в этом каноническом представлении непременно равны характеристическим числам функции .

В самом деле, в системе координат характеристический многочлен записывается в виде

его корнями, очевидно, являются А, В, С, откуда утверждение следует.

Так как функция действительна, так же как и рассматриваемые нами системы координат, то всякая квадратичная форма, изображающая функцию , имеет действительные коэффициенты; поэтому действительны и коэффициенты в каноническом представлении функции, т. е. характеристические числа . Итак,

IV. Все характеристические числа любой (действительной) квадратичной функции действительны.

Доказываем теперь утверждение

V. Если в данной прямоугольной системе координат квадратичная функция имеет канонический вид то направления осей этой координатной системы непременно являются главными направлениями функции

Это утверждение вытекает того, что в системе координат уравнения (2), определяющие главные направления, имеют вид

и при вектор , при вектор при вектор этим уравнениям удовлетворяют.

Мы убедились сначала в том, что существуют прямоугольные системы координат, в которых форма принимает канонический вид; затем мы доказали, что оси всякой такой системы координат имеют главные направления.

Отсюда следует, что для всякой квадратичной формы существует по крайней мере одна тройка взаимно перпендикулярных главных направлений. Сейчас мы полностью выясним вопрос и о числе таких троек. Оказывается, ответ на этот вопрос зависит от кратности корней характеристического уравнения.

Мы докажем последовательно следующие утверждения:

VI. Простому корню характеристического уравнения соответствует одно - единственное главное направление.

VII. Главные направления, соответствующие двум различным корням характеристического уравнения, взаимно перпендикулярны.

Непосредственным следствием предложений VI и VII является предложение

VIII. Если все три корня характеристического уравнения различны между собою, то имеются три и только три главных направления, и они взаимно перпендикулярны.

Другими словами, имеется одна - единственная тройка взаимно перпендикулярных главных направлений.

Далее, имеет место предложение

IX. Если из трех корней два равны между собою и отличны от третьего, например.

то все направления, перпендикулярные к единственному направлению, соответствующему корню являются главными направлениями, соответствующими корню Таким образом, имеется бесконечно много троек взаимно перпендикулярных главных направлений; каждая из этих троек содержит единственное главное направление соответствующее простому корню тогда как два других направления суть произвольные направления перпендикулярные между собою и перпендикулярные к направлению

И наконец,

X. Если все три корня характеристического уравнения равны между собою, то каждое направление является главным.

Переходим к доказательствам.

Доказательство утверждения VI. Возьмем прямоугольную систему координат , относительно которой форма имеет канонический вид. Относительно этой системы координат уравнения (2) принимают вид (5).

Пусть — простой корень, Тогда система уравнений (5) превращается при в

Единственное ненулевое направление определяемое этой системой, есть

Доказательство утверждений VII — X.

Пусть . Так как не может одновременно совпадать и с то без ограничения общности можем предположить, что (но, может быть, ). Тогда оказывается простым корнем, и ему, как только что доказано, соответствует единственное главное направление, записывающееся в нашей системе координат в виде .

Посмотрим, какие направления соответствуют корню При система уравнений (5) превращается в

При получаем единственное направление т.е. и оно перпендикулярно к направлению соответствующему корню .

При уравнения превращаются в

им удовлетворяют все векторы вида т. е. все векторы, перпендикулярные к вектору и только они.

Этим доказано и утверждение VII (значит, и VIII), и утверждение IX.

Наконец, при уравнения превращаются в тождества

им удовлетворяет любое направление чем доказано утверждение X.

Рассмотрим случай, когда имеется равный нулю корень характеристического уравнения, например как мы знаем, соответствующее этому корню главное направление является особым. Направим по этому направлению ось z, так что вектор является особым; подставив в уравнения

которые характеризуют особые направления, получим:

Итак, в прямоугольной системе координат, в которой ось z имеет особое направление, форма имеет вид

а после поворота на надлежащий угол имеет вид

Если при этом имеется лишь одно особое направление, то и, значит, . Если же имеется два различных особых то их имеется целое двумерное многообразие, так что можно, например, осям z и у придать взаимно перпендикулярные особые направления. Подставляя в уравнения получим в добавление к (7) еще и

так что в такой координатной системе будет

где — единственный не равный нулю корень уравнения (3). Все дальнейшие упрощения в уравнении

достигаются надлежащим переносом начала координат (и в одном случае еще дополнительным поворотом осей координат).