§ 4. Поляры и полюсы

Мы доказали в § 2, что если точка есть точка (нераспадающейся) кривой , определенной уравнением

то прямая

т. е. прямая с координатами

есть касательная к кривой (1) в ее точке Но прямую с координатами (2) можио рассматривать для любой точки независимо от того, лежит ли точка P на кривой (1) или нет. Эта прямая (2) называется полярой точки относительно кривой (1). Поляра точки P, лежащей на касательная к кривой в точке P.

Замечание 1. Это определение поляры годится как для нераспадающейся кривой второго порядка, так и для распадающейся на пару пересекающихся прямых.

Одиако во втором случае не будет определена поляра точки координаты которой удовлетворяют системе уравнений

Единственной такой точкой P является точка пересечения обеих прямых, на которые распалась данная кривая. В этом и двух следующих параграфах мы не будем рассматривать кривые, распадающиеся на пару слившихся прямых.

Будем теперь предполагать (если не оговорено противное), что кривая у нераспадающаяся. Тогда

и уравнения (2) однозначно разрешаются относительно

Другими словами, если дана произвольная прямая, координаты которой обозначим через , то существует единственная точка имеющая прямую своей полярой. Эта точка называется полюсом прямой

Пусть какая-нибудь точка плоскости. Тогда уравнение (2), которое можно записать в виде

представляет собою условие для того, чтобы точка лежала на поляре точки P. Но выражение симметрично относительно троек чисел поэтому равенство (3) выражает также условие того, что точка лежит на поляре точки X. Итак, имеем следующий основной результат.

Теорема 8 (теорема взаимности). Если точка X лежит на поляре точки P, то и точка P лежит на поляре точки X.

Пусть прямая q с координатами есть поляра точки Р. Обозначим через точки пересечения прямой q с кривой (1) (эти точки могут быть различными или совпадающими, действительными или мнимыми) (рис. 248).

Точка лежит на поляре точки P; значит, по теореме взаимности точка P лежнт на поляре точки т. е. на касательной К кривой (1) в точке

Другими словами, точка есть точка прикосновения касательной, проведенной из точки P.

Рис. 248.

Итак, всякая точка пересечения поляры точки P с кривой (1) есть точка прикосновения касательной, проведенной из точки P. Так как имеется две точки пересечении поляры точки P с кривой (1), то из точки P можно провести к кривой (1) две касательные — одна будет касаться нашей кривой в точке другая — в . Доказана

Теорема 9. Из каждой точки P плоскости можно провести к кривой (1) две касательные, совпадающие между собою, если точка P лежит на кривой, и только в этом случае. Поляра точки P есть прямая, соединяющая точки прикосновения обеих касательных, проведенных к кривой (1) из точки P.

Тот же факт можно высказать и так:

Полюс прямой q есть точка пересечения двух касательных, проведенных к кривой (1) в точках пересечения прямой q с кривой (1).

Это определение гголяры и полюса не зависит от того, каким именно уравнением и в какой системе координат мы определим данную кривую второго порядка.

Приведенное определение годится независимо от того, будут ли касательные, проведенные из точки P, действительными или мнимыми. Однако рисунок осуществим, конечно, лишь если касательные из точки P действительные. В этом случае говорим, что точка P лежит вне кривой (1).

Если же касательные к кривой (1), проведенные из точки P, мнимые, то мы говорим, что точка P лежит внутри кривой (1); в этом случае рисунок уже не имеет реального смысла. Спрашивается: как в этом случае свести построение поляры точки P к построению касательных?

Для этого проведем через точку две какие-нибудь прямые АВ и АВ (рис. 249), точки пересечения этих прямых с кривой (1) обозначим через А, В, соответственно А, В. Касательные в точках А, В, А, В к нашей кривой обозначим соответственно через . Точку пересечения прямых а и b обозначим через С, точку пересечения прямых а и обозначим через С. Прямая и есть поляра точки P.

В самом деле, прямая АВ есть поляра точки С, и P лежит на этой поляре; так как P лежит на поляре точки С, то точка С лежит на поляре точки P; точно так же точка P лежит на поляре точки С, значит, точка С лежит на поляре точки P. Поляра точки P, таким образом, проходит через обе точки С и С, а значит, эта поляра есть прямая .

Это построение применимо не только к случаю, когда P — внутренняя точка кривой (1) (см. рис. 249), а к любому случаю. На рис. 250 наше построение сделано для точки P, внешней к кривой (1).

Рис. 249.

Определение поляры точки и полюса прямой относительно данной нераспадающейся кривой второго порядка (1) устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми точками и всеми прямыми проективной плоскости: каждой точке X плоскости соответствует вполне определенная прямая этой плоскости, а именно поляра точки X; каждая прямая является полярой лишь одной точки (своего полюса). Если точка X дана своими однородными координатами

то координаты ее поляры находятся по формулам:

Обратно, если дана прямая своими координатами то координаты ее полюса находятся по формулам:

где коэффициенты получаются, если решить уравнения (4) относительно (что возможно, так как матрица есть матрица, обратная к матрице

Рис. 250.

Только что описанное соответствие между точками и прямыми плоскости называется полярным соответствием, порожденным данной нераспадающейся кривой второго порядка (1). При полярном соответствии сохраняется отношение инцидентности между точками и прямыми, именно в этом заключается содержание теоремы 8. Эта теорема может быть сформулирована и так:

Теорема 8. Если данная точка X пробегает некоторую прямую d, то ее поляра пробегает весь пучок прямых с центром в полюсе D прямой

Обратно, если прямая пробегает весь пучок прямых с центром в данной точке D, то ее полюс X пробегает прямую d, а именно поляру точки

В самом деле, если точка X пробегает поляру d точки D, то точка D лежит на поляре каждой из точек X, т. е. поляры всех точек X пробегают весь пучок прямых с центром

Другое определение поляры. Пусть снова

есть уравнение кривой второго порядка.

Назовем две точки сопряженными относительно кривой , если точки М и образуют пару точек, гармонически сопряженную к паре точек пересечения прямой MN с кривой , т. е. если

Параметрическое уравнение прямой MN может быть записано в виде

а координаты точек пересечения P и Q определяются подстановкой в эти уравнения значений отношение которых определяется из квадратного уравнения

где

Корни уравнения (7) обозначаем через и так что теперь

Из формулы (10) § 8 главы XXI нам известно, что четверка точек М, N, P, Q тогда и только тогда будет гармонической, когда

т. е. если в квадратном уравнении (7) коэффициент . А это значит, что

Если теперь точка дана, а точка определена требованием быть гармонически сопряженной точке М относительно кривой , то координаты точки N, которые мы теперь будем обозначать через должны удовлетворять уравнению

Но это уравнение есть не что иное, как уравнение поляры точки М относительно кривой

Итак:

Теорема 10. Поляра точки М относительно данной кривой второго порядка есть геометрическое место точек, гармонически сопряженных с точкой М относительно этой кривой .

Теорема 10 может рассматриваться как новое определение поляры. Это определение может быть перенесено и на случай распадающейся кривой второго порядка. Существенно при этом, что уравнение поляры точки есть

что тоже может быть принято за определение поляры. Однако при обращении в нуль дискриминанта А формы соответствие между полярой и полюсом перестает быть однозначным.

Замечание 2. Если кривая распалась на пару различных прямых , пересекающихся в некоторой точке О, то, как мы знаем, определенное этой кривой полярное соответствие между точками и прямыми плоскости перестает быть взаимно однозначным. Тем не менее для каждой точки М, отличной от точки О, имеется единственная поляра, и эта поляра проходит через точку О. Для самой точки О поляра перестает быть определенной (если угодно, можно считать любую прямую, проходящую через точку О, касательной, а следовательно, и полярой этой точки).