§ 7. Проективная классификация поверхностей второго порядка

Посредством линейного преобразования переменных

квадратичная форма может быть, как известно (гл. XIII, § 5), тождественно преобразована к каноническому виду, т. е. к виду

где все коэффициенты равны ±1. При этом число положительных коэффициентов в любом каноническом представлении данной формы одно и то же; оно называется индексом, формы .

Для форм ранга 4 индекс может принимать значения 4, 3, 2, 1, 0. Однако при умножении формы на —1 форма ранга 4 и индекса 0 превращается в форму индекса 4, форма индекса 1 превращается в форму индекса 3. Поэтому поверхность второго порядка заданная в однородных координатах уравнением

где форма имеет ранг 4, может быть в некоторой новой проективной системе координат задана уравнением вида

(мы опускаем штрихи у переменных), где все равны и число положительных среди них равно или 4, или 3, или 2.

Формулы линейного преобразования мы можем понимать по нашему желанию или как формулы перехода от одной проективной координатной системы к другой, или как формулы, определяющие проективное преобразование пространства.

Поэтому полученный результат мы можем сформулировать и так: всякая поверхность Г второго порядка и ранга 4 может быть превращена проективным преобразованием в поверхность Г, уравнение которой имеет вид (2) в первоначальной однородной координатной системе.

Так как посредством дополнительного проективного преобразования всегда можно любую из координатных плоскостей перевести в любую другую, то без ограничения общности мы можем предположить, что в каноническом уравнении (2) поверхности Г ранга 4 члены с положительными коэффициентами предшествуют членам с отрицательными. Поэтому мы имеем следующий результат:

Всякая поверхность второго порядка Г, имеющая ранг 4, может быть посредством проективного преобразования пространства переведена в поверхность Г, уравнение которой в той же исходной системе координат имеет один из следующих видов:

Другая формулировка того же результата: для каждой поверхности Г ранга 4 существует «каноническая» система проективных координат, в которой уравнение этой поверхности Г имеет канонический вид, т. е. один из видов .

Перенося на спроективный случай» терминологию, к которой мы привыкли еще в аффинной геометрии, мы скажем, что две поверхности проективно эквивалентны, если посредством проективного преобразования пространства одна этих поверхностей может быть переведена в другую. То же определение может быть, очевидно, сформулировано и так: две поверхности проективно эквивалентны, если существуют две проективные системы координат I и II такие, что уравнение поверхности в системе I таково же, как уравнение поверхности в системе II.

Повторяя те же рассуждения для поверхностей ранга 3, мы получаем следующий результат:

Всякая поверхность второго порядка Г, имеющая ранг 3, может быть проективным преобразованием переведена в поверхность Г, имеющую (в исходной системе координат) уравнение одного из двух следующих видов:

или: каждая поверхность Г ранга 3 в некоторой проективной теме координат имеет «каноническое» уравнение вида или

Далее: всякая поверхность ранга 2 проективным преобразованием может быть переведена в поверхность, имеющую уравнение одного из видов:

И наконец:

Всякая поверхность ранга 1 может быть проективным ванием переведена в поверхность

Итак, каждая поверхность второго порядка попадает в один восьми классов поверхностей каждый из которых определен соответствующим уравнением (т. е. состоит из поверхностей, проективно эквивалентных поверхности, задаваемой в исходной системе координат этим уравнением). Из самого этого определения классов следует, что все поверхности, принадпежащие к одному из этих классов, проективно эквивалентны между собою.

Поэтому для того, чтобы показать, что полученные восемь классов образуют полную проективную классификацию вещественных поверхностей второго порядка, надо лишь убедиться в том, что всякие две поверхности, принадлежащие к разным классам, проективно различны (т. е. проективно не эквивалентны) между собою.

Совершенно так же, как в заключительном замечании предыдущей главы (стр. 666), доказывается

Теорема 10. Если суть уравнения в проективной системе координат I двух проективно эквивалентных поверхностей второго порядка, то формы имеют один и тот же ранг и одну и ту же абсолютную величину сигнатуры.

Из этой теоремы, прежде всего, следует, что две поверхности различных рангов заведомо не могут быть проективно эквивалентны. Далее, если невырождающаяся поверхность Г принадлежит к классу то ее индекс, т. е. индекс квадратичной формы образующей левую часть уравнення поверхности Г, равен или 4, или 0; в этом же смысле индекс поверхности, принадлежащей к классу равен 3 или 1, а индекс поверхности класса КЗ всегда равен 2. Мы видим, что квадратичные формы, являющиеся левыми частями уравнений поверхностей, принадлежащих к двум различным среди классов , всегда имеют различный индекс; поэтому никаким линейным преобразованием уравнение одной из этих поверхностей не может быть переведено в уравнение другой — поверхности проективно различны.

Из аналогичных соображений следует, что поверхности классов а также классов проективно различны; однако эти утверждения очевидны без всякого доказательства: поверхность класса содержит единственную действительную точку, тогда как поверхность класса содержит бесконечно много действительных точек. Точно так же класс состоит из поверхностей, распадающихся на пару действительных различных плоскостей, а класс — из поверхностей, распадающихся на пару мнимых сопряженных плоскостей. Итак, всякие две поверхности, принадлежащие к различным классам, проективно различны между собою. Посмотрим, что за поверхности содержатся в каждом из перечисленных классов. Мы только что ответили на этот вопрос в применении к классам

Класс состоит, очевидно, из поверхностей, каждая из которых есть пара слившихся плоскостей.

Переходим к остальным классам. Для определенности и удобства предположим до конца предпринятого нами исследования, что система однородных координат, являющаяся исходной в пространстве соответствует прямоугольной системе координат оевд пространства

Класс состоит из поверхностей, называемых вещественными коническими поверхностями; все поверхности этого класса проективно эквивалентны поверхности, определяемой в однородных координатах уравнением

Собственные точки этой поверхности в системе координат сеед удовлетворяют уравнению

Это уравнение обыкновенного вещественного круглого конусаг). Поверхность

которой проективно эквивалентны все поверхности класса содержит единственную действительную точку .

При переходе к неоднородным координатам в системе уравнение переходит в уравнение мнимого конуса Поэтому все поверхности класса К4 называются мнимыми коническими поверхностями.

Переходим к поверхностям классов . Класс состоит из поверхностей, ироективно эквивалентных поверхности, задаваемой уравнением

или, в неоднородных координатах,

Это уравнение мнимого эллипсоида, в прямоугольной системе даже мнимой сферы. Поверхности класса не содержат ни одной вещественной точки. Они называются мнимыми овальными поверхностями.

Поверхности, образующие класс называются действительными овальными поверхностями; это поверхности, проективно эквивалентные поверхности

или, в неоднородных координатах, поверхности

В прямоугольной системе координат оввд уравнение (II) определяет обыкновенную действительную сферу. Итак, все поверхности класса суть поверхности, проективно эквивалентные шаровой поверхности. Так как все прямолинейные образующие поверхности шара мнимые, то действительные овальные поверхности (и тем более мнимые овальные поверхности) не имеют действительных прямолинейных образующих.

Класс К3 состоит из поверхностей, проективно эквивалентных поверхности

или, в неоднородных координатах,

Это однополостный гиперболоид.

Так как однополостный гиперболоид имеет два семейства действительных прямолинейных образующих, то тем же свойством обладают и все поверхности, проективно эквивалентные ему, т. е. все поверхности класса К3. Отсюда следует, что поверхность класса может быть проективно эквивалентной поверхности класса К3.

Мы получили обещанное чисто геометрическое доказательство этого факта.

Замечание 1. Так как каждая действительная прямая пересекается со всякой действительной плоскостью в действительной точке, то из существования на поверхностях КЗ действительных прямолинейных образующих вытекает, что каждая поверхность Г этого класса имеет по крайней мере одну общую действительную точку М со всякой действительной плоскостью а. Поэтому кривая второго порядка являющаяся пересечением поверхности Г с плоскостью а, не может быть мнимой овальной кривой. Не может она быть и парой мнимых сопряженных прямых, так как тогда эти прямые были бы парой мнимых прямолинейных образующих поверхности Г, проходящих через действительную точку М, между тем как прямолинейные образующие этой поверхности, проходящей через действительную точку, суть вещественные прямые. Следовательно, поверхность Г пересекается с плоскостью по действительной кривой второго порядка.

Итак: любая поверхность класса КЗ пересекается со всякой действительной плоскостью по действительной кривой второго порядка, распадающейся на пару действительных прямых, лишь когда эта плоскость является касательной плоскостью к данной поверхности.

С другой стороны, легко доказать, что для всякой овальной поверхности Г имеется действительная плоскость а, пересекающаяся с поверхностью Г по невырождающейся мнимой кривой второго порядка. В самом деле, по такой кривой поверхность

пересекается с несобственной плоскостью т. Берем проективное преобразование А, переводящее поверхность Г в поверхность Это преобразование переводит несобственную плоскость в некоторую действительную плоскость а, с которой поверхность Г пересекается по мнимой овальной кривой.

Поверхности класса КЗ называются кольцевидными. Название объясняется тем, что всякая поверхность класса КЗ, будучи проективно эквивалентной однополостному гиперболоиду, целиком покрыта, как и этот последний, каждым из двух семейств своих прямолинейных образующих. Но прямая в проективном пространстве есть замкнутая линия, поэтому прямолинейные образующие однополостного гиперболоида (и всякой проективно эквивалентной ему поверхности), будучи замкнутыми линиями, и придают всей покрытой ими поверхности кольцеобразную форму — однополостный гиперболоид, пересекаясь с бесконечно удаленной плоскостью по действительному овалу, смыкается в бесконечности в кольцо.

Замечание 2. Вспомним, что ни одна точка невырождающейся (т. е. овальной или кольцевидной) поверхности не является особой точкой, тогда как на конусе имеется единственная особая точка. Если уравнение конуса записано в каноническом виде

или, если перейти к аффинным координатам, в виде

то особой точкой является вершина конуса т. е. точка ее координаты очевидно, удовлетворяют уравнениям (5) из § 5.

Как мы уже упоминали, прямая пересечения пары различных плоскостей и все точки поверхности, состоящей из пары слившихся плоскостей, являются особыми; это очевидно геометрически и легко доказывается посредством проверки условий (5) § 5 в применении к каноническому уравнению распадающейся поверхности.

Замечание 3. Две образующие, проходящие через каждую отличную от вершины точку действительной конической поверхности, сливаются в одну образующую. Это вытекает из того, что именно так обстоит дело с круглым конусом которому нроективно эквивалентны все действительные конические поверхности. Наконец, через каждую точку распадающейся поверхности проходит бесконечное множество лежащих на этой поверхности прямых.

Замечание 4. Если через данную точку P поверхности проходят две мнимые прямолинейные образующие, что имеет место для всех точек вещественной овальной поверхности, то точка P является единственной вещественной общей точкой поверхности и ее касательной плоскости — точка P является точкой, в которой — в элементарном и наглядном смысле слова — происходит касание поверхности с ее касательной плоскостью в этой точке. Если же через точку Р проходят две различные действительные прямолинейные образующие, как это имеет место в любой точке кольцевидной поверхности, то поверхность пересекает свою касательную плоскость по двум вещественным прямым — вблизи точки Р поверхность имеет седловидную форму, никакой кусок кольцевидной поверхности нельзя так положить на стол, как мы кладем мячик или арбуз.

В заключение этого параграфа приведем простой алгебраический критерий, позволяющий судить, будет ли данная невырождающаяся поверхность овальной или кольцевидной. Если поверхность ранга 4

есть действительная овальная поверхность, то дискриминант формы отрицателен.

Для кольцевидных и мнимых овальных поверхностей этот дискриминант положителен.

В самом деле, дискриминант квадратичной формы Ф при линейном преобразовании переменных умножается на квадрат детерминанта преобразования и, значит, сохраняет свой знак. Так как в данном случае число переменных равно 4, т. е. четному числу то знак дискриминанта А не меняется и при умножении формы на любой числовой множитель. Поэтому достаточно проверить сформулированный выше критерий после приведения уравнения (1) к каноническому виду или (К3), что не представляет затруднений.